如图，BDCD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在-优题课

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 为圆上的两点， $OC / / BD$ ，弦 $AD$ ， $BC$ 相交于点 $E$ ．

（1）求证： $\hat{AC} = \hat{CD}$ ；

（2）若 $CE = 1$ ， $EB = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（3）在（2）的条件下，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $BA$ 的延长线于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PQ / / CB$ 交 $⊙ O$ 于 $F$ ， $Q$ 两点（点 $F$ 在线段 $PQ$ 上），求 $PQ$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 和 $y = - 2 x$ 的图象相交于点 $A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的另一个交点为 $B$ ，连接 $OB$ ，求 $ΔABO$ 的面积．

2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼 $A$ 处，测得起点拱门 $CD$ 的顶部 $C$ 的俯角为 $35 °$ ，底部 $D$ 的俯角为 $45 °$ ，如果 $A$ 处离地面的高度 $AB = 20$ 米，求起点拱门 $CD$ 的高度．（结果精确到1米；参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70)$

随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．

先化简，再求值： $(1 - \frac{4}{x + 3}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 6}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．