－3－4＋19－11＋2-优题课

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，将二次函数 $y = x^{2} - 1$ 的图象 $M$ 沿 $x$ 轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象 $N$ ．

（1）求 $N$ 的函数表达式；

（2）设点 $P (m, n)$ 是以点 $C (1, 4)$ 为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象 $M$ 与 $x$ 轴相交于两点 $A$ 、 $B$ ，求 $P A^{2} + P B^{2}$ 的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 $M$ 与 $N$ 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．

已知 $ΔABC$ 是等腰直角三角形， $AC = BC = 2$ ， $D$ 是边 $AB$ 上一动点 $(A$ 、 $B$ 两点除外），将 $ΔCAD$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转角 $α$ 得到 $ΔCEF$ ，其中点 $E$ 是点 $A$ 的对应点，点 $F$ 是点 $D$ 的对应点．

（1）如图1，当 $α = 90 °$ 时， $G$ 是边 $AB$ 上一点，且 $BG = AD$ ，连接 $GF$ ．求证： $GF / / AC$ ；

（2）如图2，当 $90 ° ⩽ α ⩽ 180 °$ 时， $AE$ 与 $DF$ 相交于点 $M$ ．

①当点 $M$ 与点 $C$ 、 $D$ 不重合时，连接 $CM$ ，求 $∠ CMD$ 的度数；

②设 $D$ 为边 $AB$ 的中点，当 $α$ 从 $90 °$ 变化到 $180 °$ 时，求点 $M$ 运动的路径长．

某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过 $m (30 < m ⩽ 100)$ 人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过 $m$ 人时，人均收费都按照 $m$ 人时的标准．设景点接待有 $x$ 名游客的某团队，收取总费用为 $y$ 元．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求 $m$ 的取值范围．

如图，大海中某灯塔 $P$ 周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 $A$ 处观察灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点 $B$ 处，这时观察灯塔 $P$ 恰好在北偏东 $45 °$ 方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x > x + 1 \\ 3 x < 2 (x + 1) \end{matrix}$ ．