某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A、B两家苹果。这两家苹-优题课

先化简，再求值： $a (a + 2 b) - {(a + 1)}^{2} + 2 a$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ， $b = \sqrt{2} - 1$ ．

计算： $| \sqrt{3} - 2 | + \sin 60 ° - \sqrt{27} - {(- 1 \frac{1}{2})}^{2} + 2^{- 2}$

先化简，再求值： $(1 + \frac{x^{2} + 2}{x - 2}) \div \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x$ 满足 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ ．

解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

$\{\begin{matrix} 2 x - 7 < 3 (x - 1), ① \\ 5 - \frac{1}{2} (x + 4) ⩾ x \cdot ② \end{matrix}$

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OADB$ 的顶点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $A (- 6, 0)$ ， $B (0, 4)$ ．过点 $C (- 6, 1)$ 的双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与矩形 $OADB$ 的边 $BD$ 交于点 $E$ ．

（1）填空： $OA =$ 　　， $k =$ 　　，点 $E$ 的坐标为　　；

（2）当 $1 ⩽ t ⩽ 6$ 时，经过点 $M (t - 1, - \frac{1}{2} t^{2} + 5 t - \frac{3}{2})$ 与点 $N (- t - 3, - \frac{1}{2} t^{2} + 3 t - \frac{7}{2})$ 的直线交 $y$ 轴于点 $F$ ，点 $P$ 是过 $M$ ， $N$ 两点的抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 的顶点．

①当点 $P$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上时，求证：直线 $MN$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 没有公共点；

②当抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与矩形 $OADB$ 有且只有三个公共点，求 $t$ 的值；

③当点 $F$ 和点 $P$ 随着 $t$ 的变化同时向上运动时，求 $t$ 的取值范围，并求在运动过程中直线 $MN$ 在四边形 $OAEB$ 中扫过的面积．