(本题4分)某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气不超过60-优题课

(本题4分)某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费. 如甲用户某月份用煤气80每立方米，那么这个月甲用户应交煤气费用为60×0.8＋（80－60）×1.2＝72元.
(1)设甲用户某月用煤气x立方米，用含x的代数式表示甲用户该月的煤气费.
若x≤60,则费用表示为 ;
若x＞60,则费用表示为 .
(2)若甲用户10月份的煤气费是84元，求甲用户10月份用去煤气多少立方米?

科目数学题型计算题难度较易

知识点：有理数无理数的概念与运算

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点，与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 $D$ 为直线 $AC$ 上方抛物线上一动点，

①连接 $BC$ 、 $CD$ ，设直线 $BD$ 交线段 $AC$ 于点 $E$ ， $ΔCDE$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔBCE$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

②过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ，连接 $CD$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔCDF$ 中的某个角恰好等于 $∠ BAC$ 的2倍？若存在，求点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片， $∠ B = 90 °$ ，小明想从中剪出一个以 $∠ B$ 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $DE$ 、 $EF$ 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　　．

（拓展应用）

如图②，在 $ΔABC$ 中， $BC = a$ ， $BC$ 边上的高 $AD = h$ ，矩形 $PQMN$ 的顶点 $P$ 、 $N$ 分别在边 $AB$ 、 $AC$ 上，顶点 $Q$ 、 $M$ 在边 $BC$ 上，则矩形 $PQMN$ 面积的最大值为　　．（用含 $a$ ， $h$ 的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形” $ABCDE$ ， $AB = 32$ ， $BC = 40$ ， $AE = 20$ ， $CD = 16$ ，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $∠ B$ 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料 $ABCD$ ，经测量 $AB = 50 cm$ ， $BC = 108 cm$ ， $CD = 60 cm$ ，且 $\tan B = \tan C = \frac{4}{3}$ ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 $M$ 、 $N$ 在边 $BC$ 上且面积最大的矩形 $PQMN$ ，求该矩形的面积．

如图，在平面直角坐标系中， $Rt Δ ABC$ 的斜边 $AB$ 在 $y$ 轴上，边 $AC$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ 交边 $BC$ 于点 $E$ ，经过点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 的圆的圆心 $F$ 恰好在 $y$ 轴上， $⊙ F$ 与 $y$ 轴相交于另一点 $G$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ F$ 的切线；

（2）若点 $A$ 、 $D$ 的坐标分别为 $A (0, - 1)$ ， $D (2, 0)$ ，求 $⊙ F$ 的半径；

（3）试探究线段 $AG$ 、 $AD$ 、 $CD$ 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元 $/$ 盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元 $/$ 盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元 $/$ 盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．

（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是　　；

（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．