(10分)．解方程（1）（2）-优题课

将一物体（视为边长为 $\frac{2}{π}$ 米的正方形 $ABCD)$ 从地面 $PQ$ 上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点 $B$ 与斜面 $EF$ 上的点 $E$ 重合，先将该物体绕点 $B$ （E）按逆时针方向旋转至正方形 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ 的位置，再将其沿 $EF$ 方向平移至正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 的位置（此时点 $B_{2}$ 与点 $G$ 重合），最后将物体移到车厢平台面 $MG$ 上．已知 $MG / / PQ$ ， $∠ FBP = 30 °$ ，过点 $F$ 作 $FH ⊥ MG$ 于点 $H$ ， $FH = \frac{1}{3}$ 米， $EF = 4$ 米．

（1）求线段 $FG$ 的长度；

（2）求在此过程中点 $A$ 运动至点 $A_{2}$ 所经过的路程．

如图所示，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在线段 $CD$ 上，点 $F$ 在线段 $AB$ 的延长线上，连接 $EF$ 交线段 $BC$ 于点 $G$ ，连接 $BD$ ，若 $DE = BF = 2$ ．

（1）求证：四边形 $BFED$ 是平行四边形；

（2）若 $\tan ∠ ABD = \frac{2}{3}$ ，求线段 $BG$ 的长度．

先化简，再求值： $\frac{2 x}{x^{2} - 4} \cdot (1 - \frac{2}{x}) - \frac{3}{x + 2}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 2$ ．

计算： $| - 2 | + \sqrt{3} \sin 60 ° - 2^{- 1}$ ．

如图，点 $O$ 为以 $AB$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $AB$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\hat{AB}$ 上，四边形 $MNPQ$ 为正方形，点 $C$ 在 $\hat{QP}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $BC$ 并延长交 $MQ$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $AC$ 交 $MQ$ 于点 $E$ ，连接 $OQ$ ．

（1）求 $\sin ∠ AOQ$ 的值；

（2）求 $\frac{AM}{MN}$ 的值；

（3）令 $ME = x$ ， $QD = y$ ，直径 $AB = 2 R (R > 0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围．