（本小题满分12分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角-优题课

（本小题满分12分）
如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止。不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）。

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字 $- 2$ ， $- 1$ ，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．

（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是　　．

（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 $M$ 的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 $M$ 的纵坐标．如图，已知四边形 $ABCD$ 的四个顶点的坐标分别为 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ， $C (1, 0)$ ， $D (0, 1)$ ，请用画树状图或列表法，求点 $M$ 落在四边形 $ABCD$ 所围成的部分内（含边界）的概率．

如图，已知 $∠ C = ∠ D = 90 °$ ， $BC$ 与 $AD$ 交于点 $E$ ， $AC = BD$ ，求证： $AE = BE$ ．

计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 2 \sin 60 ° + {(\frac{1}{6})}^{- 1} + \sqrt[3]{- 27}$ ．

如图，在直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $B$ ，点 $C$ ，对称轴为 $x = 1$ 的抛物线过 $B$ ， $C$ 两点，且交 $x$ 轴于另一点 $A$ ，连接 $AC$ ．

（1）直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点 $P$ 为第一象限内抛物线上一点，当点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离最大时，求点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点 $Q$ （点 $C$ 除外），使以点 $Q$ ， $A$ ， $B$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）证明推断：如图（1），在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $Q$ 分别在边 $BC$ ， $AB$ 上， $DQ ⊥ AE$ 于点 $O$ ，点 $G$ ， $F$ 分别在边 $CD$ ， $AB$ 上， $GF ⊥ AE$ ．

①求证： $DQ = AE$ ；

②推断： $\frac{GF}{AE}$ 的值为　　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形 $ABCD$ 中， $\frac{BC}{AB} = k (k$ 为常数）．将矩形 $ABCD$ 沿 $GF$ 折叠，使点 $A$ 落在 $BC$ 边上的点 $E$ 处，得到四边形 $FEPG$ ， $EP$ 交 $CD$ 于点 $H$ ，连接 $AE$ 交 $GF$ 于点 $O$ ．试探究 $GF$ 与 $AE$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 $CP$ ，当 $k = \frac{2}{3}$ 时，若 $\tan ∠ CGP = \frac{3}{4}$ ， $GF = 2 \sqrt{10}$ ，求 $CP$ 的长．

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