（1）（2）（3）（4）（5）-优题课

如图，以原点 $O$ 为圆心，3为半径的圆与 $x$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 的右边）， $P$ 是半径 $OB$ 上一点，过 $P$ 且垂直于 $AB$ 的直线与 $⊙ O$ 分别交于 $C$ ， $D$ 两点（点 $C$ 在点 $D$ 的上方），直线 $AC$ ， $DB$ 交于点 $E$ ．若 $AC : CE = 1 : 2$ ．

（1）求点 $P$ 的坐标；

（2）求过点 $A$ 和点 $E$ ，且顶点在直线 $CD$ 上的抛物线的函数表达式．

某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：

污水处理器型号	$A$ 型	$B$ 型
处理污水能力（吨 $/$ 月）	240	180

已知商家售出的2台 $A$ 型、3台 $B$ 型污水处理器的总价为44万元，售出的1台 $A$ 型、4台 $B$ 型污水处理器的总价为42万元．

（1）求每台 $A$ 型、 $B$ 型污水处理器的价格；

（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？

操作：“如图1， $P$ 是平面直角坐标系中一点 $(x$ 轴上的点除外），过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，点 $C$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到点 $Q$ ．”我们将此由点 $P$ 得到点 $Q$ 的操作称为点的 $T$ 变换．

（1）点 $P (a, b)$ 经过 $T$ 变换后得到的点 $Q$ 的坐标为　　；若点 $M$ 经过 $T$ 变换后得到点 $N (6, - \sqrt{3})$ ，则点 $M$ 的坐标为　　．

（2） $A$ 是函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x$ 图象上异于原点 $O$ 的任意一点，经过 $T$ 变换后得到点 $B$ ．

①求经过点 $O$ ，点 $B$ 的直线的函数表达式；

②如图2，直线 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，求 $ΔOAB$ 的面积与 $ΔOAD$ 的面积之比．

（1）解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x + 3 > 1 ① \\ x - 2 ⩽ \frac{1}{2} (x + 2) ② \end{matrix}$

（2）解方程： $\frac{5}{2 x - 1} = \frac{3}{x + 2}$ ．

计算：

（1） $| - 6 | + {(- 2)}^{3} + {(\sqrt{7})}^{0}$ ；

（2） $(a + b) (a - b) - a (a - b)$