如图，D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点，且DE∥BC-优题课

如图，D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点，且DE∥BC,已知AD︰DB=1︰3, DE=2cm,
求BC的长.
若△ADE的面积为1.5cm²，求梯形DBCE的面积.

科目数学题型解答题难度较易

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质

为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是　　；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．

解方程和不等式组：

（1） $\frac{x}{x - 1} + \frac{2}{1 - x} = 2$ ；

（2） $\{\begin{matrix} 2 x - 6 < 0 \\ - 3 x ⩽ 6 \end{matrix}$ ．

先化简，再求值： ${(x + 1)}^{2} - x (x + 1)$ ，其中 $x = 2$ ．

如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$ 的图象（记为抛物线 $Γ)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，点 $A$ 、 $B$ 的横坐标分别记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ．

（1）若 $a = c$ ， $b = - 3$ ，且过点 $(1, - 1)$ ，求该二次函数的表达式；

（2）若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0$ 的判别式△ $= 4$ ．求证：当 $b < - \frac{5}{2}$ 时，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + (b + 1) x + c$ 的图象与 $x$ 轴没有交点．

（3）若 $A B^{2} = \frac{c^{2} - 2 c + 6}{c}$ ，点 $P$ 的坐标为 $(- \sqrt{x_{0}}$ ， $- 1)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ 垂直于 $y$ 轴，且抛物线的 $Γ$ 的顶点在直线 $l$ 上，连接 $OP$ 、 $AP$ 、 $BP$ ， $PA$ 的延长线与抛物线 $Γ$ 交于点 $D$ ，若 $∠ OPB = ∠ DAB$ ，求 $x_{0}$ 的最小值．

如图所示， $ΔOAB$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，直线 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，且点 $C$ 的纵坐标为5，过点 $A$ 、 $B$ 分别作 $y$ 轴的垂线 $AE$ 、 $BF$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ，且 $AE = 1$ ．

（1）若点 $E$ 为线段 $OC$ 的中点，求 $k$ 的值；

（2）若 $ΔOAB$ 为等腰直角三角形， $∠ AOB = 90 °$ ，其面积小于3．

①求证： $ΔOAE ≅ ΔBOF$ ；

②把 $| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ 称为 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 两点间的“ $ZJ$ 距离”，记为 $d (M, N)$ ，求 $d (A$ ， $C) + d (A$ ， $B)$ 的值．

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