某校甲、乙、丙同学一同调查了北京的二环路、三环路、四环路高-优题课

某校甲、乙、丙同学一同调查了北京的二环路、三环路、四环路高峰段的车流量．
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”．
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”．
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”．
请根据他们提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？

科目数学题型计算题难度中等

知识点：多元一次方程组

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于原点及点 $A$ ，且经过点 $B (4, 8)$ ，对称轴为直线 $x = - 2$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线 $y = kx + 4$ 与抛物线两交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，当 $\frac{1}{x_{2}} - \frac{1}{x_{1}} = \frac{1}{2}$ 时，求 $k$ 的值；

（3）连接 $OB$ ，点 $P$ 为 $x$ 轴下方抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $OB$ 的平行线交直线 $AB$ 于点 $Q$ ，当 $S_{ΔPOQ} : S_{ΔBOQ} = 1 : 2$ 时，求出点 $P$ 的坐标．

（坐标平面内两点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 之间的距离 $MN = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}})$

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，经过点 $C$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ， $AD ⊥ EC$ 交 $EC$ 的延长线于点 $D$ ， $AD$ 交 $⊙ O$ 于 $F$ ， $FM ⊥ AB$ 于 $H$ ，分别交 $⊙ O$ 、 $AC$ 于 $M$ 、 $N$ ，连接 $MB$ ， $BC$ ．

（1）求证： $AC$ 平分 $∠ DAE$ ；

（2）若 $\cos M = \frac{4}{5}$ ， $BE = 1$ ，

①求 $⊙ O$ 的半径；

②求 $FN$ 的长．

随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了 $10000 kg$ 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养 $t$ 天后的质量为 $akg$ ，销售单价为 $y$ 元 $/ kg$ ，根据往年的行情预测， $a$ 与 $t$ 的函数关系为 $a = \{\begin{matrix} 10000 (0 ⩽ t ⩽ 20) \\ 100 t + 8000 (20 < t ⩽ 50) \end{matrix}$ ， $y$ 与 $t$ 的函数关系如图所示．

（1）设每天的养殖成本为 $m$ 元，收购成本为 $n$ 元，求 $m$ 与 $n$ 的值；

（2）求 $y$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）如果将这批小龙虾放养 $t$ 天后一次性出售所得利润为 $W$ 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？

（总成本 $=$ 放养总费用 $+$ 收购成本；利润 $=$ 销售总额 $-$ 总成本）

数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置 $P$ 与岚光阁阁顶 $A$ 、湖心亭 $B$ 在同一铅垂面内， $P$ 与 $B$ 的垂直距离为300米， $A$ 与 $B$ 的垂直距离为150米，在 $P$ 处测得 $A$ 、 $B$ 两点的俯角分别为 $α$ 、 $β$ ，且 $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $\tan β = \sqrt{2} - 1$ ，试求岚光阁与湖心亭之间的距离 $AB$ ．（计算结果若含有根号，请保留根号）

文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏流传》（记为 $A$ ）、《中国诗词大会》（记为 $B ）$ 、《中国成语大会》（记为 $C ）$ 、《朗读者》（记为 $D ）$ 中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目（记为 $E ）$ ．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据图中信息解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？

（2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“ $B$ ”所在扇形圆心角的度数；

（3）若选择“ $E$ ”的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“ $E$ ”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率．