下列各式在实数范围内有意义，分别求x的取值范围。-优题课

已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线， $C$ 是 $⊙ O$ 上的点， $AC / / OP$ ， $M$ 是直径 $AB$ 上的动点， $A$ 与直线 $CM$ 上的点连线距离的最小值为 $d$ ， $B$ 与直线 $CM$ 上的点连线距离的最小值为 $f$ ．

（1）求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）设 $OP = \frac{3}{2} AC$ ，求 $∠ CPO$ 的正弦值；

（3）设 $AC = 9$ ， $AB = 15$ ，求 $d + f$ 的取值范围．

在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆 $A$ 、 $B$ 两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：

型号	载客量	租金单价
$A$	30人 $/$ 辆	380元 $/$ 辆
$B$	20人 $/$ 辆	280元 $/$ 辆

注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．

（1）设租用 $A$ 型号客车 $x$ 辆，租车总费用为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式（也称关系式），请直接写出 $x$ 的取值范围；

（2）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

已知二次函数 $y = - 2 x^{2} + bx + c$ 图象的顶点坐标为 $(3, 8)$ ，该二次函数图象的对称轴与 $x$ 轴的交点为 $A$ ， $M$ 是这个二次函数图象上的点， $O$ 是原点．

（1）不等式 $b + 2 c + 8 ⩾ 0$ 是否成立？请说明理由；

（2）设 $S$ 是 $ΔAMO$ 的面积，求满足 $S = 9$ 的所有点 $M$ 的坐标．

如图， $ΔABC$ 是以 $BC$ 为底的等腰三角形， $AD$ 是边 $BC$ 上的高，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $AB$ 、 $AC$ 的中点．

（1）求证：四边形 $AEDF$ 是菱形；

（2）如果四边形 $AEDF$ 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形 $AEDF$ 的面积 $S$ ．

在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6， $- 2$ ，7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．

（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出所有可能出现的结果；

（2）求两次取出的小球上的数字相同的概率 $P$ ．