、计算：-优题课

问题呈现：

如图1，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别在矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ 上， $AE = DG$ ，求证： $2 S_{四边形 EFGH} = S_{矩形 ABCD}$ ．（ $S$ 表示面积）

实验探究：

某数学实验小组发现：若图1中 $AH \neq BF$ ，点 $G$ 在 $CD$ 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 $E$ 、 $G$ 作 $BC$ 边的平行线，再分别过点 $F$ 、 $H$ 作 $AB$ 边的平行线，四条平行线分别相交于点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ ，得到矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ．

如图2，当 $AH > BF$ 时，若将点 $G$ 向点 $C$ 靠近 $(DG > AE)$ ，经过探索，发现： $2 S_{四边形 EFGH} = S_{矩形 ABCD} + S_{矩形 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}$ ．

如图3，当 $AH > BF$ 时，若将点 $G$ 向点 $D$ 靠近 $(DG < AE)$ ，请探索 $S_{四边形 EFGH}$ 、 $S_{矩形 ABCD}$ 与 $S_{矩形 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}$ 之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是面积为25的正方形 $ABCD$ 各边上的点，已知 $AH > BF$ ， $AE > DG$ ， $S_{四边形 EFGH} = 11$ ， $HF = \sqrt{29}$ ，求 $EG$ 的长．

（2）如图5，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 3$ ， $AD = 5$ ，点 $E$ 、 $H$ 分别在边 $AB$ 、 $AD$ 上， $BE = 1$ ， $DH = 2$ ，点 $F$ 、 $G$ 分别是边 $BC$ 、 $CD$ 上的动点，且 $FG = \sqrt{10}$ ，连接 $EF$ 、 $HG$ ，请直接写出四边形 $EFGH$ 面积的最大值．

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + 3 (a \neq 0)$ 的图象经过点 $A (3, 0)$ ， $B (4, 1)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AB$ 、 $AC$ 、 $BC$ ．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）判断 $ΔABC$ 的形状；若 $ΔABC$ 的外接圆记为 $⊙ M$ ，请直接写出圆心 $M$ 的坐标；

（3）若将抛物线沿射线 $BA$ 方向平移，平移后点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别记为点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ，△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接圆记为 $⊙ M_{1}$ ，是否存在某个位置，使 $⊙ M_{1}$ 经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

如图，湿地景区岸边有三个观景台 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ．已知 $AB = 1400$ 米， $AC = 1000$ 米， $B$ 点位于 $A$ 点的南偏西 $60.7 °$ 方向， $C$ 点位于 $A$ 点的南偏东 $66.1 °$ 方向．

（1）求 $ΔABC$ 的面积；

（2）景区规划在线段 $BC$ 的中点 $D$ 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 $AD$ ．试求 $A$ 、 $D$ 间的距离．（结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 53.2 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53.2 ° \approx 0.60$ ， $\sin 60.7 ° \approx 0.87$ ， $\cos 60.7 ° \approx 0.49$ ， $\sin 66.1 ° \approx 0.91$ ， $\cos 66.1 ° \approx 0.41$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414)$ ．

某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元 $/$ 斤，加工销售是130元 $/$ 斤（不计损耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排 $x$ 名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．

（1）若基地一天的总销售收入为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过点 $A (- 2, 0)$ 的直线交 $y$ 轴正半轴于点 $B$ ，将直线 $AB$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后，分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $D$ 、 $C$ ．

（1）若 $OB = 4$ ，求直线 $AB$ 的函数关系式；

（2）连接 $BD$ ，若 $ΔABD$ 的面积是5，求点 $B$ 的运动路径长．