（本题8分）小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟-优题课

（本题8分）小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.

（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果保留根号）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ 在 $AC$ 上， $DE / / BC$ ， $DF / / AB$ ．

（1）求证： $ΔDFC ∽ ΔAED$ ；

（2）若 $CD = \frac{1}{3} AC$ ，求 $\frac{S_{ΔDFC}}{S_{ΔAED}}$ 的值．

先化简再求值： $(a - 2 + \frac{1}{a}) \div \frac{{(a - 1)}^{2}}{| a |}$ ，其中 $a$ 使反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象分别位于第二、四象限．

计算： $\sqrt{16} + {(4 - π)}^{0} + {(- 1)}^{- 1} - 6 \sin 30 °$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线： $y = a x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - \frac{3}{2})$ ．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $OD$ ，过点 $B$ 作 $BE ⊥ OD$ ，垂足为 $E$ ，若 $BE = 2 OE$ ，求点 $D$ 的

坐标；

（3）如图2，点 $M$ 为第四象限抛物线上一动点，连接 $AM$ ，交 $BC$ 于点 $N$ ，连接 $BM$ ，记 $ΔBMN$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔABN$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

如图，四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $AD ⊥ AB$ ， $AD = AB = 1$ ， $DC = \sqrt{5}$ ，以 $A$ 为圆心， $AD$ 为半径作圆，延长 $CD$ 交 $⊙ A$ 于点 $F$ ，延长 $DA$ 交 $⊙ A$ 于点 $E$ ，连结 $BF$ ，交 $DE$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $BC$ 为 $⊙ A$ 的切线；

（2）求 $\cos ∠ EDF$ 的值；

（3）求线段 $BG$ 的长．

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