（本小题满分6分）如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、-优题课

如图，小睿为测量公园的一凉亭 $A B$ 的高度，他先在水平地面点 $E$ 处用高 $1.5 m$ 的测角仪DE测得 $∠ A D C ＝ 31 °$ ，然后沿 $E B$ 方向向前走 $3 m$ 到达点 $G$ 处，在点 $G$ 处用高 $1.5 m$ 的测角仪 $F G$ 测得 $∠ A F C ＝ 42 °$ ．求凉亭 $A B$ 的高度．（ $A ， C ， B$ 三点共线， $A B ⊥ B E ， A C ⊥ C D ， C D ＝ B E ， B C ＝ D E$ ．结果精确到 $0.1 m$ ）

（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52 ， \cos 31 ° \approx 0.86 ， \tan 31 ° \approx 0.60 ， \sin 42 ° \approx 0.67 ， \cos 42 ° \approx 0.74 ， \tan 42 ° \approx 0.90$ ）

如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， $A B ＝ A E ， A C ＝ A D ， ∠ B A D ＝ ∠ E A C ， ∠ C ＝ 50 °$ ，求 $∠ D$ 的大小．

如图，已知抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + 3 （ a \neq 0 ）$ 与 $x$ 轴交于 $A （ 1 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ）$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式及点 $D$ 的坐标；

（2）若四边形 $B C E F$ 为矩形， $C E ＝ 3$ ．点 $M$ 以每秒 $1$ 个单位的速度从点 $C$ 沿 $C E$ 向点 $E$ 运动，同时点 $N$ 以每秒 $2$ 个单位的速度从点 $E$ 沿 $E F$ 向点 $F$ 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 $M 、 E 、 N$ 为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似时，求运动时间 $t$ 的值；

（3）抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $P$ ，点 $G$ 是点 $P$ 关于点 $D$ 的对称点，点 $Q$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的动点．若过点 $Q$ 的直线 $l ： y ＝ kx + m （ | k | ＜ \frac{9}{4} ）$ 与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 $G A 、 G B$ 相交于点 $H 、 K$ ，求证： $G H + G K$ 为定值．

如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $A B$ 是直径，点 $C$ 是 $\hat{BD}$ 的中点，延长 $A D$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $C E ＝ C D$ ；

（2）若 $A B ＝ 3$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 的长．

阅读下列材料：

在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，求证： $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$ ．

证明：如图1，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，则：

在 $R t △ B C D$ 中， $C D ＝ a \sin B$

在 $R t △ A C D$ 中， $C D ＝ b \sin A$

∴ $a \sin B ＝ b \sin A$

∴ $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$

根据上面的材料解决下列问题：

（1）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，求证： $\frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$ ；

（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知 $∠ A ＝ 67 ° ， ∠ B ＝ 53 ° ， A C ＝ 80$ 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8 ， \sin 67 ° \approx 0.9$ ）