如图，某小区有一长为30m，宽为20m的广场，图案如下，其中-优题课

如图，某小区有一长为30m，宽为20m的广场，图案如下，其中白色区域四周出口的宽度一样．小明在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在黑色区域的概率是,那么白色区域四周出口的宽度应是多少？

科目数学题型解答题难度较易

知识点：一元二次方程的最值

如图，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ 、 $AC$ 边上的点， $BD = CE$ ， $∠ ABE = ∠ ACD$ ， $BE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$ ．求证： $ΔABC$ 是等腰三角形．

某中学开展主题为"垃圾分类知多少"的调查活动，调查问卷设置了"非常了解"、"比较了解"、"基本了解"、"不太了解"四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：

等级	非常了解	比较了解	基本了解	不太了解
人数（人 $)$	24	72	18	$x$

（1）求 $x$ 的值；

（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校"非常了解"和"比较了解"垃圾分类知识的学生共有多少人？

先化简，再求值： ${(x + y)}^{2} + (x + y) (x - y) - 2 x^{2}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{3}$ ．

在平面直角坐标系中，正方形 $ABCD$ 的四个顶点坐标分别为 $A (- 2, 4)$ ， $B (- 2, - 2)$ ， $C (4, - 2)$ ， $D (4, 4)$ ．

（1）填空：正方形的面积为　　；当双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与正方形 $ABCD$ 有四个交点时， $k$ 的取值范围是：　　；

（2）已知抛物线 $L : y = a {(x - m)}^{2} + n (a > 0)$ 顶点 $P$ 在边 $BC$ 上，与边 $AB$ ， $DC$ 分别相交于点 $E$ ， $F$ ，过点 $B$ 的双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与边 $DC$ 交于点 $N$ ．

①点 $Q (m, - m^{2} - 2 m + 3)$ 是平面内一动点，在抛物线 $L$ 的运动过程中，点 $Q$ 随 $m$ 运动，分别求运动过程中点 $Q$ 在最高位置和最低位置时的坐标；

②当点 $F$ 在点 $N$ 下方， $AE = NF$ ，点 $P$ 不与 $B$ ， $C$ 两点重合时，求 $\frac{BE}{BP} - \frac{CF}{CP}$ 的值；

③求证：抛物线 $L$ 与直线 $x = 1$ 的交点 $M$ 始终位于 $x$ 轴下方．

已知：在矩形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 分别是边 $AB$ ， $AD$ 上的点，过点 $F$ 作 $EF$ 的垂线交 $DC$ 于点 $H$ ，以 $EF$ 为直径作半圆 $O$ ．

（1）填空：点 $A$ 　　（填“在”或“不在” $) ⊙ O$ 上；当 $\hat{AE} = \hat{AF}$ 时， $\tan ∠ AEF$ 的值是　　；

（2）如图1，在 $ΔEFH$ 中，当 $FE = FH$ 时，求证： $AD = AE + DH$ ；

（3）如图2，当 $ΔEFH$ 的顶点 $F$ 是边 $AD$ 的中点时，求证： $EH = AE + DH$ ；

（4）如图3，点 $M$ 在线段 $FH$ 的延长线上，若 $FM = FE$ ，连接 $EM$ 交 $DC$ 于点 $N$ ，连接 $FN$ ，当 $AE = AD$ 时， $FN = 4$ ， $HN = 3$ ，求 $\tan ∠ AEF$ 的值．