如图，在Rt△ABC中，∠ACB90º，AB10，AC6，点-优题课

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象过格点（网格线的交点） $P$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在图中用直尺和 $2 B$ 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：

①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 $O$ ，点 $P$ ；

②矩形的面积等于 $k$ 的值．

每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

治理杨絮一一您选哪一项？（单选）

$A$ ．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量

$B$ ．调整树种结构，逐渐更换现有杨树

$C$ ．选育无絮杨品种，并推广种植

$D$ ．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮

$E$ ．其他

根据以上统计图，解答下列问题：

（1）本次接受调查的市民共有　　人；

（2）扇形统计图中，扇形 $E$ 的圆心角度数是　　；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0, 3)$ ，顶点 $F$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $H$ ，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ，交抛物线的对称轴于点 $G$ ．

（1）求出 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值．

（2）点 $M$ 为抛物线对称轴上一个动点，若 $ΔDGM$ 是以 $DG$ 为腰的等腰三角形时，请求出点 $M$ 的坐标．

（3）点 $P$ 为抛物线上一个动点，当点 $P$ 关于直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 的对称点恰好落在 $x$ 轴上时，请直接写出此时点 $P$ 的坐标．

探究

（1）如图①，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90$ ，作 $CM$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为射线 $CM$ 上一点，以点 $C$ 为旋转中心将线段 $CD$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $CE$ ，连接 $DE$ 交射线 $CB$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ 、 $BE$

填空：

①线段 $BD$ 、 $BE$ 的数量关系为　　．

②线段 $BC$ 、 $DE$ 的位置关系为　　．

推广：

（2）如图②，在等腰三角形 $ABC$ 中，顶角 $∠ ACB = α$ ，作 $CM$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为 $ΔABC$ 外部射线 $CM$ 上一点，以点 $C$ 为旋转中心将线段 $CD$ 逆时针旋转 $α$ 度得到线段 $CE$ ，连接 $DE$ 、 $BD$ 、 $BE$ 请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．

应用：

（3）如图③，在等边三角形 $ABC$ 中， $AB = 4$ ．作 $BM$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为射线 $BM$ 上一点，以点 $B$ 为旋转中心将线段 $BD$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $BE$ ，连接 $DE$ 交射线 $BA$ 于点 $F$ ，连接 $AD$ 、 $AE$ ．当以 $A$ 、 $D$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $ΔAEF$ 全等时，请直接写出 $DE$ 的值．

某校为改善办学条件，计划购进 $A$ 、 $B$ 两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：

规格	线下		线上
规格	单价（元 $/$ 个）	运费（元 $/$ 个）		单价（元 $/$ 个）	运费（元 $/$ 个）
$A$	240	0		210	20
$B$	300	0		250	30

（1）如果在线下购买 $A$ 、 $B$ 两种书架20个，共花费5520元，求 $A$ 、 $B$ 两种书架各购买了多少个

（2）如果在线上购买 $A$ 、 $B$ 两种书架20个，共花费 $v$ 元，设其中 $A$ 种书架购买 $m$ 个，求 $v$ 关于 $m$ 的函数关系式．

（3）在（2）的条件下，若购买 $B$ 种书架的数量不少于 $A$ 种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．