如图，在四棱锥AABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧-优题课

如图，在四棱锥A-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点.
（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；
（3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由.

科目数学题型解答题难度未知

已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + a {(x - 1)}^{2}$ 有两个零点．

（Ⅰ）求 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，证明： $x_{1} + x_{2} < 2$ ．

设圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0$ 的圆心为 $A$ ，直线 $l$ 过点 $B (1, 0)$ 且与 $x$ 轴不重合， $l$ 交圆 $A$ 于 $C$ ， $D$ 两点，过 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 于点 $E$ ．

（Ⅰ）证明 $| EA | + | EB |$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程；

（Ⅱ）设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ ，直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，过 $B$ 且与 $l$ 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，求四边形 $MPNQ$ 面积的取值范围．

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 $X$ 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， $n$ 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）求 $X$ 的分布列；

（Ⅱ）若要求 $P (X ⩽ n) ⩾ 0.5$ ，确定 $n$ 的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n = 19$ 与 $n = 20$ 之中选其一，应选用哪个？

如图，在以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的五面体中，面 $ABEF$ 为正方形， $AF = 2 FD$ ， $∠ AFD = 90 °$ ，且二面角 $D - AF - E$ 与二面角 $C - BE - F$ 都是 $60 °$ ．

（Ⅰ）证明平面 $ABEF ⊥$ 平面 $EFDC$ ；

（Ⅱ）求二面角 $E - BC - A$ 的余弦值．

$ΔABC$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 \cos C (a \cos B + b \cos A) = c$ ．

（Ⅰ）求 $C$ ；

（Ⅱ）若 $c = \sqrt{7}$ ， $ΔABC$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $ΔABC$ 的周长．

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