如图，在△ABC中，ABAC，点O为底边上的中点，以点O为圆-优题课

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $O$ 为对角线 $AC$ 的中点，过点 $O$ 作直线分别与矩形的边 $AD$ ， $BC$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，连接 $CM$ ， $AN$ ．

（1）求证：四边形 $ANCM$ 为平行四边形；

（2）若 $AD = 4$ ， $AB = 2$ ，且 $MN ⊥ AC$ ，求 $DM$ 的长．

为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的 $a$ ， $b$ 满足关系式 $2 a = 3 b$ ．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．

（1）求问题中的总体和样本容量；

（2）求 $a$ ， $b$ 的值（请写出必要的计算过程）；

（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）

如图， $AB$ ， $CD$ 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点 $M$ ，从建筑物 $AB$ 的顶点 $A$ 测得 $M$ 点的俯角为 $45 °$ ，从建筑物 $CD$ 的顶点 $C$ 测得 $M$ 点的俯角为 $75 °$ ，测得建筑物 $AB$ 的顶点 $A$ 的俯角为 $30 °$ ．若已知建筑物 $AB$ 的高度为20米，求两建筑物顶点 $A$ 、 $C$ 之间的距离（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$ ．

解方程： $\frac{2 x}{x - 1} - 1 = \frac{4}{x - 1}$ ．

先化简，再求值： $(x + 5) (x - 1) + {(x - 2)}^{2}$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ ．