（本小题满分8分）某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方-优题课

$（ π ﹣ 1 ） 0 - \sqrt{9} + \sqrt{2} \cos 45 ° +$ $（ \frac{1}{5} ）^{﹣ 1}$ ．

综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E是BC的中点， $A E ⊥ E P$ ， $E P$ 与正方形的外角 $∠ D C G$ 的平分线交于 $P$ 点．试猜想 $A E$ 与 $E P$ 的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取 $A B$ 的中点 $F$ ，连接 $E F$ 可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一动点（点 $E ， B$ 不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P ＝ 90 °$ ，连接 $C P$ ，可以求出 $∠ D C P$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一动点（点 $E ， B$ 不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P ＝ 90 °$ ，连接 $D P$ ．知道正方形的边长时，可以求出 $△ A D P$ 周长的最小值．当 $A B ＝ 4$ 时，请你求出 $△ A D P$ 周长的最小值．

在平面直角坐标系中， $P （ a ， b ）$ 是第一象限内一点，给出如下定义： $k_{1} = \frac{a}{b}$ 和 $k_{2} = \frac{b}{a}$ 两个值中的最大值叫做点 $P$ 的“倾斜系数” $k$ ．

（1）求点 $P （ 6 ， 2 ）$ 的“倾斜系数” $k$ 的值；

（2）①若点 $P （ a ， b ）$ 的“倾斜系数” $k ＝ 2$ ，请写出 $a$ 和 $b$ 的数量关系，并说明理由；

②若点 $P （ a ， b ）$ 的“倾斜系数” $k ＝ 2$ ，且 $a + b ＝ 3$ ，求 $O P$ 的长；

（3）如图，边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 沿直线 $A C ： y ＝ x$ 运动， $P （ a ， b ）$ 是正方形 $A B C D$ 上任意一点，且点 $P$ 的“倾斜系数” $k ＜ \sqrt{3}$ ，请直接写出 $a$ 的取值范围．

如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是直径， $O D ⊥ O C$ ，连接 $A D$ ， $∠ A D O ＝ ∠ B O C$ ， $A C$ 与 $O D$ 相交于点 $E$ ．

（1）求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $t a n ∠ O A C = \frac{1}{2}$ ， $A D = \frac{3}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ）$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为 $B （ 3 ， 0 ）$ ，过 $C （ 5 ， 0 ）$ 作 $C D ⊥ x$ 轴，交过 $B$ 点的一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的图象于D点，交反比例函数的图象于 $E$ 点， $S_{△ A O B} ＝ 3$ ．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ）$ 和一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的表达式；

（2）求 $D E$ 的长．