（10分）如图，是⊙O的直径，为延长线上的任意一点，为半圆的-优题课

如图，点 $P$ 是 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 延长线上一点，且 $AB = 4$ ，点 $M$ 为 $\hat{AB}$ 上一个动点（不与 $A$ ， $B$ 重合），射线 $PM$ 与 $⊙ O$ 交于点 $N$ （不与 $M$ 重合）．

（1）当 $M$ 在什么位置时， $ΔMAB$ 的面积最大，并求出这个最大值；

（2）求证： $ΔPAN ∽ ΔPMB$ ．

阅读理解题

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P (x_{0}$ ， $y_{0})$ 到直线 $Ax + By + C = 0 (A^{2} + B^{2} \neq 0)$ 的距离公式为： $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ ，

例如，求点 $P (1, 3)$ 到直线 $4 x + 3 y - 3 = 0$ 的距离．

解：由直线 $4 x + 3 y - 3 = 0$ 知： $A = 4$ ， $B = 3$ ， $C = - 3$

所以 $P (1, 3)$ 到直线 $4 x + 3 y - 3 = 0$ 的距离为： $d = \frac{| 4 \times 1 + 3 \times 3 - 3 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 2$

根据以上材料，解决下列问题：

（1）求点 $P_{1} (0, 0)$ 到直线 $3 x - 4 y - 5 = 0$ 的距离．

（2）若点 $P_{2} (1, 0)$ 到直线 $x + y + C = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，求实数 $C$ 的值．

列方程解应用题

《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？

在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 上， $AE = AD$ ， $DF ⊥ AE$ ，垂足为 $F$ ．

（1）求证： $DF = AB$ ；

（2）若 $∠ FDC = 30 °$ ，且 $AB = 4$ ，求 $AD$ ．

已知抛物线 $F : y = x^{2} + bx + c$ 的图象经过坐标原点 $O$ ，且与 $x$ 轴另一交点为 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $0)$ ．

（1）求抛物线 $F$ 的解析式；

（2）如图 1 ，直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + m (m > 0)$ 与抛物线 $F$ 相交于点 $A (x_{1}$ ， $y_{1})$ 和点 $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ （点 $A$ 在第二象限），求 $y_{2} - y_{1}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）；

（3）在（2）中，若 $m = \frac{4}{3}$ ，设点 $A'$ 是点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点，如图 2 ．

①判断△ $AA' B$ 的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点 $P$ ，使得以点 $A$ 、 $B$ 、 $A'$ 、 $P$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．