(本题6分)求不等式组的整数解.-优题课

如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $AD$ 、 $BC$ 上，且 $DE = BF$ ，直线 $EF$ 与 $BA$ 、 $DC$ 的延长线分别交于点 $G$ ， $H$ ．求证：

（1） $ΔDEH ≅ ΔBFG$ ；

（2） $AG = CH$ ．

如图，线段 $AB = 8$ ，射线 $BG ⊥ AB$ ， $P$ 为射线 $BG$ 上一点，以 $AP$ 为边作正方形 $APCD$ ，且点 $C$ 、 $D$ 与点 $B$ 在 $AP$ 两侧，在线段 $DP$ 上取一点 $E$ ，使 $∠ EAP = ∠ BAP$ ，直线 $CE$ 与线段 $AB$ 相交于点 $F$ （点 $F$ 与点 $A$ 、 $B$ 不重合）．

（1）求证： $ΔAEP ≅ ΔCEP$ ；

（2）判断 $CF$ 与 $AB$ 的位置关系，并说明理由；

（3）求 $ΔAEF$ 的周长．

如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC$ 为 $⊙ O$ 的直径， $D$ 为 $\hat{AC}$ 的中点，过点 $D$ 作 $DE / / AC$ ，交 $BC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $AB = 8$ ，求 $CE$ 的长．

$P M_{2.5}$ 是指空气中直径小于或等于 $2.5 μm$ 的颗粒物，它对人体健康和大气环境造成不良影响，下表是根据《全国城市空气质量报告》中的部分数据制作的统计表．根据统计表回答下列问题，

2017年、2018年 $7 ~ 12$ 月全国338个地级及以上城市 $P M_{2.5}$ 平均浓度统计表

（单位： $μg / m^{3}$ ）

月份

年份

7

8

9

10

11

12

2017年

27

24

30

38

51

65

2018年

23

24

25

36

49

53

（1）2018年 $7 ~ 12$ 月 $P M_{2.5}$ 平均浓度的中位数为　　 $μg / m^{3}$ ；

（2）“扇形统计图”和“折线统计图”中，更能直观地反映2018年 $7 ~ 12$ 月 $P M_{2.5}$ 平均浓度变化过程和趋势的统计图是　　；

（3）某同学观察统计表后说：“2018年 $7 ~ 12$ 月与2017年同期相比，空气质量有所改善”，请你用一句话说明该同学得出这个结论的理由．

如图①，在钝角 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 30 °$ ， $AC = 4$ ，点 $D$ 为边 $AB$ 中点，点 $E$ 为边 $BC$ 中点，将 $ΔBDE$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转 $α$ 度 $(0 ⩽ α ⩽ 180)$ ．

（1）如图②，当 $0 < α < 180$ 时，连接 $AD$ 、 $CE$ ．求证： $ΔBDA ∽ ΔBEC$ ；

（2）如图③，直线 $CE$ 、 $AD$ 交于点 $G$ ．在旋转过程中， $∠ AGC$ 的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将 $ΔBDE$ 从图①位置绕点 $B$ 逆时针方向旋转 $180 °$ ，求点 $G$ 的运动路程．