计算：-优题课

$A$ ， $B$ 两地被大山阻隔，若要从 $A$ 地到 $B$ 地，只能沿着如图所示的公路先从 $A$ 地到 $C$ 地，再由 $C$ 地到 $B$ 地．现计划开凿隧道 $A$ ， $B$ 两地直线贯通，经测量得： $∠ CAB = 30 °$ ， $∠ CBA = 45 °$ ， $AC = 20 km$ ，求隧道开通后与隧道开通前相比，从 $A$ 地到 $B$ 地的路程将缩短多少？（结果精确到 $0.1 km$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 1 < x + 5 \\ \frac{x - 3}{2} < x - 1 \end{matrix}$ 并写出它的整数解．

（1） $| - 3 | - {(\sqrt{5} + 1)}^{0} + {(- 2)}^{2}$ ；

（2） $(1 - \frac{3}{a}) \div \frac{a - 3}{a^{2}}$ ．

如图，已知一次函数 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 的图象是直线 $l$ ，设直线 $l$ 分别与 $y$ 轴、 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ．

（1）求线段 $AB$ 的长度；

（2）设点 $M$ 在射线 $AB$ 上，将点 $M$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 到点 $N$ ，以点 $N$ 为圆心， $NA$ 的长为半径作 $⊙ N$ ．

①当 $⊙ N$ 与 $x$ 轴相切时，求点 $M$ 的坐标；

②在①的条件下，设直线 $AN$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $⊙ N$ 的另一个交点为 $D$ ，连接 $MD$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，直线 $m$ 过点 $N$ 分别与 $y$ 轴、直线 $l$ 交于点 $P$ 、 $Q$ ，当 $ΔAPQ$ 与 $ΔCDE$ 相似时，求点 $P$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ ，已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx$ 的图象过点 $A (4, 0)$ ，顶点为 $B$ ，连接 $AB$ 、 $BO$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若 $C$ 是 $BO$ 的中点，点 $Q$ 在线段 $AB$ 上，设点 $B$ 关于直线 $CQ$ 的对称点为 $B^{'}$ ，当 $ΔOC B^{'}$ 为等边三角形时，求 $BQ$ 的长度；

（3）若点 $D$ 在线段 $BO$ 上， $OD = 2 DB$ ，点 $E$ 、 $F$ 在 $ΔOAB$ 的边上，且满足 $ΔDOF$ 与 $ΔDEF$ 全等，求点 $E$ 的坐标．