（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培-优题课

（本小题满分13分）
为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望.

科目数学题型解答题难度容易

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = a \cos t \\ y = 1 + a \sin t \end{matrix} (t$ 为参数， $a > 0)$ ．在以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2} : ρ = 4 \cos θ$ ．

（Ⅰ）说明 $C_{1}$ 是哪种曲线，并将 $C_{1}$ 的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = α_{0}$ ，其中 $α_{0}$ 满足 $\tan α_{0} = 2$ ，若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点都在 $C_{3}$ 上，求 $a$ ．

如图， $ΔOAB$ 是等腰三角形， $∠ AOB = 120 °$ ．以 $O$ 为圆心， $\frac{1}{2} OA$ 为半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线 $AB$ 与 $⊙ O$ 相切；

（Ⅱ）点 $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共圆，证明： $AB / / CD$ ．

已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + a {(x - 1)}^{2}$ 有两个零点．

（Ⅰ）求 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，证明： $x_{1} + x_{2} < 2$ ．

设圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0$ 的圆心为 $A$ ，直线 $l$ 过点 $B (1, 0)$ 且与 $x$ 轴不重合， $l$ 交圆 $A$ 于 $C$ ， $D$ 两点，过 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 于点 $E$ ．

（Ⅰ）证明 $| EA | + | EB |$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程；

（Ⅱ）设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ ，直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，过 $B$ 且与 $l$ 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，求四边形 $MPNQ$ 面积的取值范围．

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 $X$ 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， $n$ 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）求 $X$ 的分布列；

（Ⅱ）若要求 $P (X ⩽ n) ⩾ 0.5$ ，确定 $n$ 的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n = 19$ 与 $n = 20$ 之中选其一，应选用哪个？

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