(本小题满分13分)
为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
(Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;
(Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为,求
的分布列和数学期望.
数列 的前 项和为 ,已知
(Ⅰ)写出 与 的递推关系式 ,并求 关于 的表达式;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 .
已知函数 在 上有定义,对任何实数 和任何实数 ,都有
(Ⅰ)证明 ;
(Ⅱ)证明
,其中
和
均为常数;
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的
时,设
,讨论
在
内的单调性并求极值.
如图, 是边长为1的正六边形 所在平面外一点, , 在平面 内的射影为 的中点 .
(Ⅰ)证明
;
(Ⅱ)求面
与面
所成二面角的大小.
在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用
表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
(Ⅰ)写出
的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程)
(Ⅱ)求
的数学期望
。(要求写出计算过程或说明道理)
已知 ,
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)求
的值.