（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培-优题课

（本小题满分13分）
为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望.

科目数学题型解答题难度容易

数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}, S_{n} = n^{2} a_{n} - n (n - 1), n = 1, 2 \dots$

（Ⅰ）写出 $S_{n}$ 与 $S_{n - 1}$ 的递推关系式 $(n \geq 2)$ ，并求 $S_{n}$ 关于 $n$ 的表达式；

（Ⅱ）设 $f_{n} (x) = \frac{S_{n}}{n} x^{n + 1}, b_{n} = f_{n} (p) (p \in R)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有定义，对任何实数 $a > 0$ 和任何实数 $x$ ，都有 $f (a x) = a f (x)$

（Ⅰ）证明 $f (0) = 0$ ；

（Ⅱ）证明 $f (x) = \{\begin{cases} k x, x \geq 0 \\ h x, x < 0 \end{cases}$ ,其中 $k$ 和 $h$ 均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的 $k > 0$ 时，设 $g (x) = \frac{1}{f (x)} + f (x) (x > 0)$ ，讨论 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的单调性并求极值.

如图， $P$ 是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 所在平面外一点， $P A = 1$ ， $P$ 在平面 $A B C$ 内的射影为 $B F$ 的中点 $O$ .

（Ⅰ）证明 $P A ⊥ B F$ ；
（Ⅱ）求面 $A P B$ 与面 $D P B$ 所成二面角的大小.

在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用 $ξ$ 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（Ⅰ）写出 $ξ$ 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ 。（要求写出计算过程或说明道理）

已知 $\frac{3 π}{4} < a < π$ , $\tan a + c o t a = - \frac{10}{3}$

（Ⅰ）求 $\tan a$ 的值；
（Ⅱ）求 $\frac{5 \sin^{2} \frac{a}{2} + 8 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} + 11 \cos^{2} \frac{a}{2} - 8}{\sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{2})}$ 的值.

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