如图，抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点-优题课

如图1，直线 $y = x - 4$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $B$ 和点 $C (0, 4)$ ， $ΔABO$ 沿射线 $AB$ 方向以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为 $ΔDEF$ （点 $A$ ， $B$ ， $O$ 的对应点分别为点 $D$ ， $E$ ， $F)$ ，平移时间为 $t (0 < t < 4)$ 秒，射线 $DF$ 交 $x$ 轴于点 $G$ ，交抛物线于点 $M$ ，连接 $ME$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\tan ∠ EMF = \frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $t$ 的值；

（3）如图2，点 $N$ 在抛物线上，点 $N$ 的横坐标是点 $M$ 的横坐标的 $\frac{1}{2}$ ，连接 $OM$ ， $NF$ ， $OM$ 与 $NF$ 相交于点 $P$ ，当 $NP = FP$ 时，求 $t$ 的值．

如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，点 $F$ 是射线 $AD$ 上的动点，连接 $CF$ ，以 $CF$ 为对角线作正方形 $CGFE (C$ ， $G$ ， $F$ ， $E$ 按逆时针排列），连接 $BE$ ， $DG$ ．

（1）当点 $F$ 在线段 $AD$ 上时．

①求证： $BE = DG$ ；

②求证： $CD - FD = \sqrt{2} BE$ ；

（2）设正方形 $ABCD$ 的面积为 $S_{1}$ ，正方形 $CGFE$ 的面积为 $S_{2}$ ，以 $C$ ， $G$ ， $D$ ， $F$ 为顶点的四边形的面积为 $S_{3}$ ，当 $\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{13}{25}$ 时，请直接写出 $\frac{S_{3}}{S_{1}}$ 的值．

某服装厂生产 $A$ 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发 $A$ 品牌服装 $x$ 件时，批发单价为 $y$ 元， $y$ 与 $x$ 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数 $x$ 为10的正整数倍．

（1）当 $100 ⩽ x ⩽ 300$ 时， $y$ 与 $x$ 的函数关系式为　　．

（2）某零售商到此服装厂一次性批发 $A$ 品牌服装200件，需要支付多少元？

（3）零售商到此服装厂一次性批发 $A$ 品牌服装 $x (100 ⩽ x ⩽ 400)$ 件，服装厂的利润为 $w$ 元，问： $x$ 为何值时， $w$ 最大？最大值是多少？

如图， $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AD$ 是 $⊙ O$ 的弦， $AD$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，连接 $AB$ ， $CD$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$ ，垂足为 $F$ ， $∠ AEF = ∠ D$ ．

（1）求证： $AD ⊥ BC$ ；

（2）点 $G$ 在 $BC$ 的延长线上，连接 $AG$ ， $∠ DAG = 2 ∠ D$ ．

①求证： $AG$ 与 $⊙ O$ 相切；

②当 $\frac{AF}{BF} = \frac{2}{5}$ ， $CE = 4$ 时，直接写出 $CG$ 的长．

如图，某数学活动小组要测量建筑物 $AB$ 的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．

测量项目	测量数据
测角仪到地面的距离	$CD = 1.6 m$
点 $D$ 到建筑物的距离	$BD = 4 m$
从 $C$ 处观测建筑物顶部 $A$ 的仰角	$∠ ACE = 67 °$
从 $C$ 处观测建筑物底部 $B$ 的俯角	$∠ BCE = 22 °$

请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物 $AB$ 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据： $\sin 67 ° \approx 0.92$ ， $\cos 67 ° \approx 0.39$ ， $\tan 67 ° \approx 2.36$ ． $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40)$ （选择一种方法解答即可）