如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC90°，联结-优题课

如图1和2， $▱ ABCD$ 中， $AB = 3$ ， $BC = 15$ ， $\tan ∠ DAB = \frac{4}{3}$ ．点 $P$ 为 $AB$ 延长线上一点，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 切 $CP$ 于点 $P$ ，设 $BP = x$ ．

（1）如图1， $x$ 为何值时，圆心 $O$ 落在 $AP$ 上？若此时 $⊙ O$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，直接指出 $PE$ 与 $BC$ 的位置关系；

（2）当 $x = 4$ 时，如图2， $⊙ O$ 与 $AC$ 交于点 $Q$ ，求 $∠ CAP$ 的度数，并通过计算比较弦 $AP$ 与劣弧 $\hat{PQ}$ 长度的大小；

（3）当 $⊙ O$ 与线段 $AD$ 只有一个公共点时，直接写出 $x$ 的取值范围．

长为 $300 m$ 的春游队伍，以 $v (m / s)$ 的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置 $O$ 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 $2 v (m / s)$ ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 $O$ 开始行进的时间为 $t (s)$ ，排头与 $O$ 的距离为 $S_{头} (m)$ ．

（1）当 $v = 2$ 时，解答：

①求 $S_{头}$ 与 $t$ 的函数关系式（不写 $t$ 的取值范围）；

②当甲赶到排头位置时，求 $S_{头}$ 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 $O$ 的距离为 $S_{甲} (m)$ ，求 $S_{甲}$ 与 $t$ 的函数关系式（不写 $t$ 的取值范围）

（2）设甲这次往返队伍的总时间为 $T (s)$ ，求 $T$ 与 $v$ 的函数关系式（不写 $v$ 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．

如图， $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 中， $AB = AD = 6$ ， $BC = DE$ ， $∠ B = ∠ D = 30 °$ ，边 $AD$ 与边 $BC$ 交于点 $P$ （不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $B$ ， $E$ 在 $AD$ 异侧， $I$ 为 $ΔAPC$ 的内心．

（1）求证： $∠ BAD = ∠ CAE$ ；

（2）设 $AP = x$ ，请用含 $x$ 的式子表示 $PD$ ，并求 $PD$ 的最大值；

（3）当 $AB ⊥ AC$ 时， $∠ AIC$ 的取值范围为 $m ° < ∠ AIC < n °$ ，分别直接写出 $m$ ， $n$ 的值．

某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知 $P$ （一次拿到8元球） $= \frac{1}{2}$ ．

（1）求这4个球价格的众数；

（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．

①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；

②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．

又拿先拿

已知：整式 $A = {(n^{2} - 1)}^{2} + {(2 n)}^{2}$ ，整式 $B > 0$ ．

尝试化简整式 $A$ ．

发现 $A = B^{2}$ ，求整式 $B$ ．

联想由上可知， $B^{2} = {(n^{2} - 1)}^{2} + {(2 n)}^{2}$ ，当 $n > 1$ 时， $n^{2} - 1$ ， $2 n$ ， $B$ 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中 $B$ 的值：

直角三角形三边	$n^{2} - 1$	$2 n$	$B$
勾股数组Ⅰ	$/$	8	17
勾股数组Ⅱ	35	$/$