如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a-优题课

计算： ${(π - 1)}^{0} + \sqrt{8} - 4 \sin 45 °$ ．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，线段 $EF$ 、 $GH$ 分别平行于 $AD$ 、 $AB$ ，它们相交于点 $P$ ，点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 分别在线段 $PF$ 、 $PH$ 上， $P P_{1} = PG$ ， $P P_{2} = PE$ ，连接 $P_{1} H$ 、 $P_{2} F$ ， $P_{1} H$ 与 $P_{2} F$ 相交于点 $Q$ ．已知 $AG : GD = AE : EB = 1 : 2$ ，设 $AG = a$ ， $AE = b$ ．

（1）四边形 $EBHP$ 的面积　　四边形 $GPFD$ 的面积（填" $>$ "、" $=$ "或" $<$ " $)$

（2）求证：△ $P_{1} FQ ∽$ △ $P_{2} HQ$ ；

（3）设四边形 $P P_{1} Q P_{2}$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $CFQH$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面 $ABCD$ 是正方形，容器乙的底面 $EFGH$ 是矩形．如图②，已知正方形 $ABCD$ 与矩形 $EFGH$ 满足如下条件：正方形 $ABCD$ 外切于一个半径为5米的圆 $O$ ，矩形 $EFGH$ 内接于这个圆 $O$ ， $EF = 2 EH$ ．

（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？

（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米 $/$ 小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加 $a$ 立方米 $/$ 小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米 $/$ 小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为 $t$ 时，我们把容器甲的水位高度记为 $h_{甲}$ ，容器乙的水位高度记为 $h_{乙}$ ，设 $h_{乙} - h_{甲} = h$ ，已知 $h$ （米 $)$ 关于注水时间 $t$ （小时）的函数图象如图③所示，其中 $MN$ 平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：

①求 $a$ 的值；

②求图③中线段 $PN$ 所在直线的解析式．

如图，二次函数 $y = x^{2} - (m + 1) x + m (m$ 是实数，且 $- 1 < m < 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ．已知点 $D$ 位于第一象限，且在对称轴上， $OD ⊥ BD$ ，点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $OC = EC$ ，连接 $ED$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $AF$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标（用数字或含 $m$ 的式子表示）；

（2）已知点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，当 $ΔAFQ$ 的周长的最小值等于 $\frac{12}{5}$ 时，求 $m$ 的值．

如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，延长 $BC$ 到点 $E$ ，使得 $CE = AB$ ，连接 $ED$ ．

（1）求证： $BD = ED$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $BC = 6$ ， $∠ ABC = 60 °$ ，求 $\tan ∠ DCB$ 的值．