从4名男生和5名女
生中任选5人参加数学课外小组，求在下列条件下各有多少种不同的选法?
(1)
选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选；
(2)至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选.
设函数
的最小正周期为
，
是函数
图象的一个对称中心，且曲线
在该点处切线的斜率为
．
（1）求a，b，
的值；
（2）若角
的终边不共线，且
，求
的值；
（3）若函数
的图象与函数的图象关于直线
对称，判断：曲线上是否存在与直线
（c为常数）垂直的切线？证明你的结论．
已知函数
．
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）将
的图象向左平移
个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到
的图象；若函数在区间
上的图象与直线
有三个交点，求实数a的取值范围．
在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，
．
（1）求c的值；
（2）求面积S的最大值．
已知函数
,函数
（1）当
时，求
时
的最大值；
（2）若
在
恒成立，求
的取值范围；
（3）当
时，函数
在
有两个不同的零点，求的取值范围．
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0．125万元和0．5万元（如图）．
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：投资债券类产品和投资股票分别多少万元，能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？