(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为
,且短轴长为2。
(I)求椭圆方程;
(II)过点(m,0)作圆的切线交椭圆于A、B两点,试将
表示为m的函数,并求
的最大值。
(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为
,
,
是常数.
(1)求的值;
(2)若,
,求
.
(本小题满分14分)设函数,
是自然对数的底数,
,
为常数.
(1)若在
处的切线
的斜率为
,求
的值;
(2)在(1)的条件下,证明切线与曲线
在区间
至少有1个公共点;
(3)若是
的一个单调区间,求
的取值范围.
(本小题满分14分)平面直角坐标系中,椭圆
:
(
)的离心率为
,焦点为
、
,直线
:
经过焦点
,并与
相交于
、
两点.
(1)求的方程;
(2)在上是否存在
、
两点,满足
,
?若存在,求直线
的方程;若不存在,说明理由.
(本小题满分13分)如图,直四棱柱的底面是菱形,侧面是正方形,
,
是棱
的延长线上一点,经过点
、
、
的平面交棱
于点
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
(本小题满分13分)某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况,随机抽取了100株树苗,分别测出它们的高度(单位:),并将所得数据分组,画出频率分布表如下:
组 距 |
频 数 |
频 率 |
[100,102) |
17 |
0.17 |
[102,104) |
18 |
0.18 |
[104,106) |
24 |
0.24 |
[106,108) |
![]() |
![]() |
[108,110) |
6 |
0.06 |
[110,112) |
3 |
0.03 |
合计 |
100 |
1 |
(1)求上表中、
的值;
(2)估计该基地榕树树苗平均高度;
(3)基地从上述100株榕树苗中高度在[108,112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究,其中在[110,112)内的有株,求
的分布列和期望.