已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于Ｅ，，BF⊥AB与弦-优题课

已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于Ｅ，， BF⊥AB与弦AD的延长线相交于点F．

（1）求证：CD∥BF；
（2）连结BC，若，，求⊙O的半径及弦CD的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 6$ ，点 $O$ 是对角线 $BD$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交 $AB$ 、 $CD$ 边于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证：四边形 $DEBF$ 是平行四边形；

（2）当 $DE = DF$ 时，求 $EF$ 的长．

先化简，再从 $- 1$ 、2、3、4中选一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

$(\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4} - \frac{4}{x - 2}) \div \frac{x - 4}{x^{2} - 4}$

已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$

（1）若 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = - 1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y = p x^{2} + qx + r (p \neq 0)$ ，满足方程 $y = x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b = \frac{1}{2} c^{3}$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $Oxy$ 中，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0)$ ，其中 $x_{1} < 0$ ， $x_{2} > 0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $BC$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $OC = OD$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $CE$ 相交于点 $F$ ，满足 $∠ AFC = ∠ ABC$ ． $FA$ 的延长线与 $BC$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{PC}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5 a^{2} + 1}}$ ，求二次函数的表达式．

四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的圆内接四边形，线段 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，连结 $AC$ 、 $BD$ ．点 $H$ 是线段 $BD$ 上的一点，连结 $AH$ 、 $CH$ ，且 $∠ ACH = ∠ CBD$ ， $AD = CH$ ， $BA$ 的延长线与 $CD$ 的延长线相交于点 $P$ ．

（1）求证：四边形 $ADCH$ 是平行四边形；

（2）若 $AC = BC$ ， $PB = \sqrt{5} PD$ ， $AB + CD = 2 (\sqrt{5} + 1)$

①求证： $ΔDHC$ 为等腰直角三角形；

②求 $CH$ 的长度．

如图所示，在平面直角坐标系 $Oxy$ 中，等腰 $ΔOAB$ 的边 $OB$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象相交于点 $C$ ，其中 $OB = AB$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B$ 的坐标为 $(2, 4)$ ，过点 $C$ 作 $CH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ．

（1）已知一次函数的图象过点 $O$ ， $B$ ，求该一次函数的表达式；

（2）若点 $P$ 是线段 $AB$ 上的一点，满足 $OC = \sqrt{3} AP$ ，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ x$ 轴于点 $Q$ ，连结 $OP$ ，记 $ΔOPQ$ 的面积为 $S_{ΔOPQ}$ ，设 $AQ = t$ ， $T = O H^{2} - S_{ΔOPQ}$

①用 $t$ 表示 $T$ （不需要写出 $t$ 的取值范围）；

②当 $T$ 取最小值时，求 $m$ 的值．