已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的图像在点处的-优题课

题文

已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的斜率为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．

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已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - b x - 1$ ，其中 $a, b \in R$ ， $e = 2.71828 . . .$ 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设 $g (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值；
（Ⅱ）若 $f (1) = 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内有零点，证明： $e - 2 < a < 1$ .

已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $(a > b > 0)$ ）的左焦点为 $F (- 2, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点， $T$ 为直线 $x = - 3$ 上任意一点，过 $F$ 作 $T F$ 的垂线交椭圆 $C$ 于点 $P, Q$ .当四边形 $O P T Q$ 是平行四边形时，求四边形 $O P T Q$ 的面积.

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，点 $(a_{n}, b_{n})$ 在函数 $f (x) = 2^{x}$ 的图象上（ $n \in N^{*}$ ）.
（1）证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；
（2）若 $a_{1} = 1$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $(a_{2}, b_{2})$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2 - \frac{1}{\ln 2}$ ，求数列 $\{a_{n} {b_{n}}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

在如图所示的多面体中，四边形 $A_{1} B B_{1} A_{1}$ 和 $A_{} C C_{1} A_{1}$ 都为矩形。

（Ⅰ）若 $A C ⊥ B C$ ，证明：直线 $B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；
（Ⅱ）设 $D, E$ 分别是线段 $B C, C C_{1}$ 的中点，在线段AB上是否存在一点 $M$ ，使直线 $D E ∥$ 平面 $A_{1} M C$ ？请证明你的结论。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 3 a_{n}, n \in N^{+}, a_{1} = 1$ .
（1）若 $a_{2} = 2, a_{3} = x, a_{4} = 9$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{m} = \frac{1}{1000}$ ，正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 ${a_{n}}$ 的仅比；
（3）若 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{100}$ 成等差数列，求数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{100}$ 的公差的取值范围.

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