已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直-优题课

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的点均在 $C_{2} : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 9$ 外，且对 $C_{1}$ 上任意一点 $M, M$ 到直线 $x = - 2$ 的距离等于该点与圆 $C_{2}$ 上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的方程；
（Ⅱ）设 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq \pm 3)$ 为圆 $C_{2}$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线，分别与曲线 $C_{1}$ 相交于点 $A, B$ 和 $C, D$ .

证明：当 $P$ 在直线 $x = - 4$ 上运动时，四点 $A, B, C, D$ 的纵坐标之积为定值.

某企业接到生产3000台某产品的 $A, B, C$ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产 $A$ 部件６件，或 $B$ 部件３件，或 $C$ 部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 $B$ 部件的人数与生产 $A$ 部件的人数成正比，比例系数为 $k$ （ $k$ 为正整数）.
（１）设生产 $A$ 部件的人数为 $x$ ，分别写出完成 $A, B, C$ 三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 $k$ 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，记 $A_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n}$ ， $B_{n} = a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n + 1}$ ， $C_{n} = a_{3} + a_{4} + . . . + a_{n + 2}$ ， $n = 1, 2,$ ……
（1）若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 5$ ，且对任意 $n \in N$ ﹡，三个数 $A (n)$ ， $B (n)$ ， $C (n)$ 组成等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.
（2）证明：数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 $n \in N^{+}$ ，三个数 $A (n)$ ， $B (n)$ ， $C (n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列.

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B$ =4， $B C$ =3， $A D$ =5， $∠ D A B$ = $∠ A B C$ =90°， $E$ 是 $C D$ 的中点.

（Ⅰ）证明： $C D ⊥$ 平面 $P A E$ ；
（Ⅱ）若直线 $P B$ 与平面 $P A E$ 所成的角和 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角相等，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	$x$	30	25	$y$	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定 $x$ ， $y$ 的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）

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