计算：-优题课

如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆 $AB$ 的高度，站在教学楼的 $C$ 处测得旗杆底端 $B$ 的俯角为 $45 °$ ，测得旗杆顶端 $A$ 的仰角为 $30 °$ ．已知旗杆与教学楼的距离 $BD = 9 m$ ，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．

已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y = kx + m$ 的图象交于点 $(2, 1)$ ．

（1）分别求出这两个函数的解析式；

（2）判断 $P (- 1, - 5)$ 是否在一次函数 $y = kx + m$ 的图象上，并说明原因．

先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 1} + 1) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x$ 是方程 $x^{2} + 3 x = 0$ 的根．

计算： $\sqrt{16} - 2 \sin 45 ° + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - | 2 - \sqrt{2} |$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与直线 $y = x + 1$ 相交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, m)$ 两点，且抛物线经过点 $C (5, 0)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点（不与点 $A$ 、点 $B$ 重合），过点 $P$ 作直线 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $AB$ 于点 $E$ ．

①当 $PE = 2 ED$ 时，求 $P$ 点坐标；

②是否存在点 $P$ 使 $ΔBEC$ 为等腰三角形？若存在请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．