设是定义在上函数，且对任意，当时，都有成立．解不等式．-优题课

题文

设是定义在上函数，且对任意，当时，都有成立．解不等式．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：函数的基本性质

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如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为2，侧棱长为 $3 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在侧棱 $A A_{1}$ 上，点 $F$ 在侧棱 $B B_{1}$ 上，且 $A E = 2 \sqrt{2}$ ， $B F = \sqrt{2}$ ．

（I）求证： $C F ⊥ C_{1} E$ ；
（II）求二面角 $E - C F - C_{1}$ 的大小．

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 $\{b_{n}\}$ 中的 $b_{3}, b_{4} . b_{5}$ ．
（Ⅰ）求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证：数列 $\{S_{n} + \frac{5}{4}\}$ 等比数列．

设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$ .

（Ⅰ）求 $△ A B C$ 的周长；
（Ⅱ）求 $\cos (A - C)$ 的值．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l： $x = - 2$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，设 $P$ 是 $l$ 上一点， $M$ 是线段 $O P$ 的垂直平分线上一点，且满足 $∠ M P O = ∠ A O P$ ．
（1）当点 $P$ 在 $l$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；
（2）已知 $T (1, - 1)$ ，设 $H$ 是 $E$ 上动点，求 $| H O | + | H T |$ 的最小值，并给出此时点 $H$ 的坐标；
（3）过点 $T (1, - 1)$ 且不平行与 $y$ 轴的直线 $l_{1}$ 与轨迹 $E$ 有且只有两个不同的交点，求直线 $l_{1}$ 的斜率 $k$ 的取值范围．

设 $b > 0$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b$ ， $a_{n} = \frac{n b a_{n - 1}}{a_{n - 1} + n - 1} (n \geq 2)$
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数 $n$ ， $2 a_{n} \leq b^{n + 1} + 1$ ．

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