已知正方形纸片ABCD．如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落-优题课

已知正方形纸片ABCD．如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．

（1）请你找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当AB=2，点P位于CD中点时，请借助图2画出折叠后的示意图，并求CG的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

某水果店将标价为10元 $/$ 斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元 $/$ 斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该水果每次降价的百分率；

（2）从第二次降价的第1天算起，第 $x$ 天 $(x$ 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：

时间（天）	$x$
销量（斤）	$120 - x$
储藏和损耗费用（元）	$3 x^{2} - 64 x + 400$

已知该水果的进价为4.1元 $/$ 斤，设销售该水果第 $x$ （天）的利润为 $y$ （元），求 $y$ 与 $x (1 ⩽ x < 10)$ 之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？

我们知道，顶点坐标为 $(h, k)$ 的抛物线的解析式为 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a \neq 0)$ ．今后我们还会学到，圆心坐标为 $(a, b)$ ，半径为 $r$ 的圆的方程 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ ，如：圆心为 $P (- 2, 1)$ ，半径为3的圆的方程为 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ ．

（1）以 $M (- 3, - 1)$ 为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径的圆的方程为　　．

（2）如图，以 $B (- 3, 0)$ 为圆心的圆与 $y$ 轴相切于原点， $C$ 是 $⊙ B$ 上一点，连接 $OC$ ，作 $BD ⊥ OC$ ，垂足为 $D$ ，延长 $BD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，已知 $\sin ∠ AOC = \frac{3}{5}$ ．

①连接 $EC$ ，证明： $EC$ 是 $⊙ B$ 的切线；

②在 $BE$ 上是否存在一点 $Q$ ，使 $QB = QC = QE = QO$ ？若存在，求点 $Q$ 的坐标，并写出以 $Q$ 为圆心，以 $QB$ 为半径的 $⊙ Q$ 的方程；若不存在，请说明理由．

图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高 $175 cm$ 的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置 $O$ ，花洒的最高点 $B$ 与人的头顶的铅垂距离为 $15 cm$ ，已知龙头手柄 $OA$ 长为 $10 cm$ ，花洒直径 $AB$ 是 $8 cm$ ，龙头手柄与墙面的较小夹角 $∠ COA = 26 °$ ， $∠ OAB = 146 °$ ，则安装时，旋转头的固定点 $O$ 与地面的距离应为多少？（计算结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 26 ° \approx 0.44$ ， $\cos 26 ° \approx 0.90$ ， $\tan 26 ° \approx 0.49)$

如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象分别与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $A (4, 3)$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，且 $OA = OB$ ．

（1）求函数 $y = kx + b$ 和 $y = \frac{a}{x}$ 的表达式；

（2）已知点 $C (0, 5)$ ，试在该一次函数图象上确定一点 $M$ ，使得 $MB = MC$ ，求此时点 $M$ 的坐标．

"学而时习之，不亦说乎？"古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一 $)$ 班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：

1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4

九年级（一 $)$ 班女生一周复习时间频数分布表

复习时间	频数（学生人数）
1小时	3
2小时	$a$
3小时	4
4小时	6

（1）统计表中 $a =$ 　　，该班女生一周复习时间的中位数为　　小时；

（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为　　 $°$ ；

（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？

（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中 $B$ 和 $D$ 的概率．