已知：在△ABC中，∠CAB，且，AP平分∠CAB．（1）如-优题课

交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量 $q$ （辆 $/$ 小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度 $v$ （千米 $/$ 小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度 $k$ （辆 $/$ 千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．

为配合大数据治堵行动，测得某路段流量 $q$ 与速度 $v$ 之间关系的部分数据如下表：

速度 $v$ （千米 $/$ 小时）	$\dots$	5	10	20	32	40	48	$\dots$
流量 $q$ （辆 $/$ 小时）	$\dots$	550	1000	1600	1792	1600	1152	$\dots$

（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画 $q$ ， $v$ 关系最准确的是　　（只填上正确答案的序号）

① $q = 90 v + 100$ ；② $q = \frac{32000}{v}$ ；③ $q = - 2 v^{2} + 120 v$ ．

（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

（3）已知 $q$ ， $v$ ， $k$ 满足 $q = vk$ ，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．

①市交通运行监控平台显示，当 $12 ⩽ v < 18$ 时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度 $k$ 在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；

②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离 $d$ （米 $)$ 均相等，求流量 $q$ 最大时 $d$ 的值．

如图，已知等腰直角三角形 $ABC$ ，点 $P$ 是斜边 $BC$ 上一点（不与 $B$ ， $C$ 重合）， $PE$ 是 $ΔABP$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径．

（1）求证： $ΔAPE$ 是等腰直角三角形；

（2）若 $⊙ O$ 的直径为2，求 $P C^{2} + P B^{2}$ 的值．

家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．

（1）下列选取样本的方法最合理的一种是　　．（只需填上正确答案的序号）

①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；

②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；

③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．

（2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：

① $m =$ 　　， $n =$ 　　；

②补全条形统计图；

③根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？

④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．

如图，直线 $l_{1} : y = 2 x + 1$ 与直线 $l_{2} : y = mx + 4$ 相交于点 $P (1, b)$ ．

（1）求 $b$ ， $m$ 的值；

（2）垂直于 $x$ 轴的直线 $x = a$ 与直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于点 $C$ ， $D$ ，若线段 $CD$ 长为2，求 $a$ 的值．

如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 $OB$ 与墙 $MN$ 平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽 $AO$ 为1.2米，当车门打开角度 $∠ AOB$ 为 $40 °$ 时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.64$ ； $\cos 40 ° \approx 0.77$ ； $\tan 40 ° \approx 0.84)$