.-优题课

如图， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $AD ⊥ BC$ 于 $D$ 点， $DE ⊥ AB$ 于点 $E$ ， $BF ⊥ AC$ 于点 $F$ ， $DE = 3 cm$ ，则 $BF =$ 　 $cm$ ．

从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生 $A$ 已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为　　．

如图， $P$ 是 $ΔABC$ 的内心，连接 $PA$ 、 $PB$ 、 $PC$ ， $ΔPAB$ 、 $ΔPBC$ 、 $ΔPAC$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ．则 $S_{1}$ 　　 $S_{2} + S_{3}$ ．（填“ $<$ ”或“ $=$ ”或“ $>$ ” $)$

如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图象上的一点， $PA ⊥ x$ 轴于点 $A$ ，则 $ΔPOA$ 的面积为　　．

根据下列材料，解答问题．

等比数列求和：

概念：对于一列数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots a_{n} \dots (n$ 为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即 $\frac{a_{k}}{a_{k - 1}} = q$ （常数），那么这一列数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ， $\dots$ 成等比数列，这一常数 $q$ 叫做该数列的公比．

例：求等比数列1，3， $3^{2}$ ， $3^{3}$ ， $\dots$ ， $3^{100}$ 的和，

解：令 $S = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{100}$

则 $3 S = 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{100} + 3^{101}$

因此， $3 S - S = 3^{101} - 1$ ，所以 $S = \frac{3^{101} - 1}{2}$

即 $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} \dots + 3^{100} = \frac{3^{101} - 1}{2}$

仿照例题，等比数列1，5， $5^{2}$ ， $5^{3}$ ， $\dots$ ， $5^{2018}$ 的和为　　．