如图：已知三棱锥中，面，，，为上一点，，分别为的中点.(1)-优题课

题文

如图：已知三棱锥中，面，，，为上一点，，分别为的中点.
(1)证明：.
(2)求面与面所成的锐二面角的余弦值.
(3)在线段(包括端点)上是否存在一点，使平面？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由.

科目数学题型解答题难度容易

知识点：空间向量基本定理及坐标表示

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平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y 2^{}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且点（ $\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ）在椭圆 $C$ 上.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y = k x + m$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，射线 $P O$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$ .
（ⅰ）求 $\frac{|O Q|}{|O P|}$ 的值；
（ⅱ）求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

设函数 $f (x) = (x + a) \ln x, g (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ . 已知曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $2 x - y = 0$ 平行.
（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）是否存在自然数 $k$ ，使得方程 $f (x) = g (x)$ 在 $(k, k + 1)$ 内存在唯一的根？如果存在，求出 $k$ ；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数 $m (x) = m i n {f (x), g (x)}$ （ $m i n {p, q}$ 表示， $p, q$ 中的较小值），求 $m (x)$ 的最大值.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为正数的等差数列，数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{2 n + 1}$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = (a_{n} + 1) \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

如图，三棱台DEF-ABC中， $A B = 2 D E, G, H$ 分别为 $A C, B C$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $B D ∥$ 平面 $F G H$ ；
（Ⅱ）若 $C F ⊥ B C, A B ⊥ B C$ 求证：平面 $B C D ⊥$ 平面 $E G H$ .

$△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\cos B = \frac{\sqrt{3}}{3}, \sin (A + B) = \frac{\sqrt{6}}{9}, a c = 2 \sqrt{3}$ 求 $\sin A$ 和 $c$ 的值.

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