计算：．-优题课

分解因式： $2 x^{3} - 2 x y^{2} =$ 　　．

如图，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上有点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots A_{n + 1}$ ，且 $O A_{1} = 1$ ， $A_{1} A_{2} = 2$ ， $A_{2} A_{3} = 4$ ， $A_{n} A_{n + 1} = 2^{n}$ ，分别过点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots A_{n + 1}$ 作直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 的垂线，交 $y$ 轴于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， $\dots B_{n + 1}$ ，依次连接 $A_{1} B_{2}$ ， $A_{2} B_{3}$ ， $A_{3} B_{4}$ ， $\dots A_{n} B_{n + 1}$ ，得到△ $A_{1} B_{1} B_{2}$ ，△ $A_{2} B_{2} B_{3}$ ，△ $A_{3} B_{3} B_{4}$ ， $\dots$ ，△ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ ，则△ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ 的面积为　　．（用含正整数 $n$ 的式子表示）

如图，点 $A (0, 8)$ ，点 $B (4, 0)$ ，连接 $AB$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $OA$ ， $AB$ 的中点，在射线 $MN$ 上有一动点 $P$ ，若 $ΔABP$ 是直角三角形，则点 $P$ 的坐标是　　．

一艘货轮由西向东航行，在 $A$ 处测得灯塔 $P$ 在它的北偏东 $60 °$ 方向，继续航行到达 $B$ 处，测得灯塔 $P$ 在它的东北方向，若灯塔 $P$ 正南方向4海里的 $C$ 处是港口，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在一条直线上，则这艘货轮由 $A$ 到 $B$ 航行的路程为　　海里（结果保留根号）．

如图是由若干个全等的等边三角形拼成的纸板，某人向纸板上投掷飞镖（每次飞镖均落在纸板上），飞镖落在阴影部分的概率是　　．