如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，-优题课

如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30c
从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，
顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．

（1）求证：=
（2）求这个矩形EFGH的周长．

科目数学题型解答题难度未知

根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）

（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到 $1 %)$

（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到 $1 %)$

如图， $AB$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为 $BA$ 延长线上一点， $CD$ 切半圆 $O$ 于点 $D$ ，连接 $OD$ ．作 $BE ⊥ CD$ 于点 $E$ ，交半圆 $O$ 于点 $F$ ．已知 $CE = 12$ ， $BE = 9$ ．

（1）求证： $ΔCOD ∽ ΔCBE$ ．

（2）求半圆 $O$ 的半径 $r$ 的长．

有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形 $ABCD$ 中， $∠ B = \frac{1}{2} ∠ D$ ， $∠ C = \frac{1}{2} ∠ A$ ，求 $∠ B$ 与 $∠ C$ 的度数之和；

（2）如图2，锐角 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ，若边 $AB$ 上存在一点 $D$ ，使得 $BD = BO$ ， $∠ OBA$ 的平分线交 $OA$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ 并延长交 $AC$ 于点 $F$ ， $∠ AFE = 2 ∠ EAF$ ．求证：四边形 $DBCF$ 是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点 $D$ 作 $DG ⊥ OB$ 于点 $H$ ，交 $BC$ 于点 $G$ ，当 $DH = BG$ 时，求 $ΔBGH$ 与 $ΔABC$ 的面积之比．

如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x + c$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，连接 $AB$ ，点 $C (6, \frac{15}{2})$ 在抛物线上，直线 $AC$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求 $c$ 的值及直线 $AC$ 的函数表达式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $Q$ 在 $y$ 轴正半轴上，连接 $PQ$ 与直线 $AC$ 交于点 $M$ ，连接 $MO$ 并延长交 $AB$ 于点 $N$ ，若 $M$ 为 $PQ$ 的中点．

①求证： $ΔAPM ∽ ΔAON$ ；

②设点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，求 $AN$ 的长（用含 $m$ 的代数式表示）．

在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：

如图，将矩形 $ABCD$ 的四边 $BA$ 、 $CB$ 、 $DC$ 、 $AD$ 分别延长至 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ，使得 $AE = CG$ ， $BF = DH$ ，连接 $EF$ ， $FG$ ， $GH$ ， $HE$ ．

（1）求证：四边形 $EFGH$ 为平行四边形；

（2）若矩形 $ABCD$ 是边长为1的正方形，且 $∠ FEB = 45 °$ ， $\tan ∠ AEH = 2$ ，求 $AE$ 的长．