在水平地面上有一点光源S，被不透明的罩遮住，在罩的正上方开一-优题课

如图， $A B D$ 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中 $A B$ 段是水平的， $B D$ 段为半径 $R = 0.2 m$ 的半圆，两段轨道相切于 $B$ 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小 $E = 5.0 \times 10^{3} V / m$ 。一不带电的绝缘小球甲，以速度 $υ_{0}$ 沿水平轨道向右运动，与静止在 $B$ 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为 $m = 1.0 \times 10^{- 2} k g$ ，乙所带电荷量 $q = 2.0 \times 10^{- 5} C$ ， $g$ 取 $10 m / s^{2}$ 。(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到 $B$ 点的距离；

（2）在满足(1)的条件下。求的甲的速度 $υ_{0}$ ；

（3）若甲仍以速度 $υ_{0}$ 向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到 $B$ 点的距离范围。

如图1所示，宽度为 $d$ 的竖直狭长区域内（边界为 $L_{1}, L_{2}$ ），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场（如图2所示），电场强度的大小为 $E_{0}$ ， $E > 0$ 表示电场方向竖直向上。 $t = 0$ 时，一带正电、质量为 $m$ 的微粒从左边界上的 $N_{1}$ 点以水平速度 $v$ 射入该区域，沿直线运动到 $Q$ 点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的 $N_{2}$ 点。 $Q$ 为线段 $N_{1} N_{2}$ 的中点，重力加速度为 $g$ 。上述 $d, E_{0}, m, v, g$ 为已知量。

(1)求微粒所带电荷量 $q$ 和磁感应强度 $B$ 的大小；

(2)求电场变化的周期 $T$ ；
(3)改变宽度 $d$ ，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求 $T$ 的最小值。

雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为 $m_{0}$ ，初速度为 $v_{0}$ ，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为 $m_{1}$ 。此后每经过同样的距离 $l$ 后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为 $m_{2}$ 、 $m_{3}$ …… $m_{n}$ ……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度 $v_{n} `$ ；
（2）若考虑重力的影响，
a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度 $v_{1}$ 和 $v_{1} `$ ；
b.求第n次碰撞后雨滴的动能 $\frac{1}{2} m_{n}$ $v_{n} ` 2$ ；

利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。
如图1，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场 $B$ 中，在薄片的两个侧面 $a, b$ 间通以电流I时，另外两侧 $c, f$ 间产生电势差，这一现象称为霍尔效应。其原因是薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是 $c, f$ 间建立起电场 $E_{H}$ ，同时产生霍尔电势差 $U_{H}$ 。当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时， $E_{H}$ 和 $U_{H}$ 达到稳定值， $U_{H}$ 的大小与 $I$ 和 $B$ 以及霍尔元件厚度 $d$ 之间满足关系式 $U_{H}$ ＝ $R_{H}$ ，其中比例系数 $R_{H}$ 称为霍尔系数，仅与材料性质有关。

（1）设半导体薄片的宽度（ $c, f$ 间距）为 $l$ ，请写出 $U_{H}$ 和 $E_{H}$ 的关系式;若半导体材料是电子导电的，请判断图1中 $c, f$ 哪端的电势高;[
（2）已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为 $n$ ，电子的电荷量为 $e$ ，请导出霍尔系数 $R_{H}$ 的表达式。（通过横截面积 $S$ 的电流 $I = n e v S$ ，其中 $v$ 是导电电子定向移动的平均速率）;
（3）图2是霍尔测速仪的示意图，将非磁性圆盘固定在转轴上，圆盘的周边等距离地嵌装着 $m$ 个永磁体，相邻永磁体的极性相反。霍尔元件置于被测圆盘的边缘附近。当圆盘匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号图像如图3所示。
a.若在时间 $t$ 内，霍尔元件输出的脉冲数目为 $P$ ，请导出圆盘转速N的表达式。
b.利用霍尔测速仪可以测量汽车行驶的里程。除此之外，请你展开"智慧的翅膀"，提出另一个实例或设想。

如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从 $O$ 点水平飞出，经过3.0 $s$ 落到斜坡上的A点。已知 $O$ 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角 $θ$ ＝37°，运动员的质量 $m$ ＝50 $k g$ 。不计空气阻力。（取 $\sin$ 37°＝0.60， $\cos$ 37°＝0.80; $g$ 取10 $m / s^{2}$ ）求
（1） $A$ 点与 $O$ 点的距离 $L$ ;
（2）运动员离开 $O$ 点时的速度大小;
（3）运动员落到 $A$ 点时的动能。