如图，反比例函数y的图象与直线yxm在第一象限交于点P(6，-优题课

如图，一次函数 $y = mx + n (m \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限内的点 $A (a, 4)$ 和点 $B (8, b)$ ．过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $C$ ， $ΔAOC$ 的面积为4．

（1）分别求出 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）结合图象直接写出 $mx + n < \frac{k}{x}$ 的解集；

（3）在 $x$ 轴上取点 $P$ ，使 $PA - PB$ 取得最大值时，求出点 $P$ 的坐标．

如图，两座建筑物 $DA$ 与 $CB$ ，其中 $CB$ 的高为120米，从 $DA$ 的顶点 $A$ 测得 $CB$ 顶部 $B$ 的仰角为 $30 °$ ，测得其底部 $C$ 的俯角为 $45 °$ ，求这两座建筑物的地面距离 $DC$ 为多少米？（结果保留根号）

“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D 4$ 个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　　（填“普查”或“抽样调査” $)$ ，王老师所调查的4个班共征集到作品　　件，并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，表示 $C$ 班的扇形圆心角的度数为　　；

（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $BC$ 上的一点，点 $F$ 是 $CD$ 延长线上的一点，且 $BE = DF$ ，连结 $AE$ 、 $AF$ 、 $EF$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔADF$ ；

（2）若 $AE = 5$ ，请求出 $EF$ 的长．

计算： ${(- 1)}^{2019} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + | \sqrt{3} - 2 | + 3 \tan 30 °$ ．