计算：-优题课

某学校为改善办学条件，计划采购 $A$ 、 $B$ 两种型号的空调，已知采购3台 $A$ 型空调和2台 $B$ 型空调，需费用39000元；4台 $A$ 型空调比5台 $B$ 型空调的费用多6000元．

（1）求 $A$ 型空调和 $B$ 型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购 $A$ 、 $B$ 两种型号空调共30台，且 $A$ 型空调的台数不少于 $B$ 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

如图，直线 $y = - 2 x + 4$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象有唯一的公共点 $C$ ．

（1）求 $k$ 的值及 $C$ 点坐标；

（2）直线 $l$ 与直线 $y = - 2 x + 4$ 关于 $x$ 轴对称，且与 $y$ 轴交于点 $B^{'}$ ，与双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，求 $ΔCDE$ 的面积．

如图所示，为测量旗台 $A$ 与图书馆 $C$ 之间的直线距离，小明在 $A$ 处测得 $C$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，然后向正东方向前进100米至 $B$ 处，测得此时 $C$ 在北偏西 $15 °$ 方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据 $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

先化简，再求值： $\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} \cdot (1 + \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 2 \sqrt{5} - 1$ ．

如图，已知直线 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 相交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, m)$ 两点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 交 $y$ 轴于点 $C (0, - \frac{3}{2})$ ，交 $x$ 轴正半轴于 $D$ 点，抛物线的顶点为 $M$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $M$ 的坐标；

（2）设点 $P$ 为直线 $AB$ 下方的抛物线上一动点，当 $ΔPAB$ 的面积最大时，求此时 $ΔPAB$ 的面积及点 $P$ 的坐标；

（3）点 $Q$ 为 $x$ 轴上一动点，点 $N$ 是抛物线上一点，当 $ΔQMN ∽ ΔMAD$ （点 $Q$ 与点 $M$ 对应），求 $Q$ 点坐标．