如图，已知直线 $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $y$轴于点 $C(0,-\frac{3}{2})$，交 $x$轴正半轴于 $D$点，抛物线的顶点为 $M$．

（1）求抛物线的解析式及点 $M$的坐标；

（2）设点 $P$为直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当 $\mathit{\Delta PAB}$的面积最大时，求此时 $\mathit{\Delta PAB}$的面积及点 $P$的坐标；

（3）点 $Q$为 $x$轴上一动点，点 $N$是抛物线上一点，当 $\mathit{\Delta QMN}\backsim \mathit{\Delta MAD}$（点 $Q$与点 $M$对应），求 $Q$点坐标．

科目 数学   题型 计算题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题