已知，ＡＢ∥ＣＤ，分别探讨四个图形中∠ＡＰＣ，∠ＰＡＢ，∠Ｐ-优题课

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OCDE$ 的顶点 $C$ 和 $E$ 分别在 $y$ 轴的正半轴和 $x$ 轴的正半轴上， $OC = 8$ ， $OE = 17$ ，抛物线 $y = \frac{3}{20} x^{2} - 3 x + m$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，抛物线的对称轴与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与 $CD$ 交于点 $K$ ．

（1）将矩形 $OCDE$ 沿 $AB$ 折叠，点 $O$ 恰好落在边 $CD$ 上的点 $F$ 处．

①点 $B$ 的坐标为 $($ 　　、　　 $)$ ， $BK$ 的长是　　， $CK$ 的长是　　；

②求点 $F$ 的坐标；

③请直接写出抛物线的函数表达式；

（2）将矩形 $OCDE$ 沿着经过点 $E$ 的直线折叠，点 $O$ 恰好落在边 $CD$ 上的点 $G$ 处，连接 $OG$ ，折痕与 $OG$ 相交于点 $H$ ，点 $M$ 是线段 $EH$ 上的一个动点（不与点 $H$ 重合），连接 $MG$ ， $MO$ ，过点 $G$ 作 $GP ⊥ OM$ 于点 $P$ ，交 $EH$ 于点 $N$ ，连接 $ON$ ，点 $M$ 从点 $E$ 开始沿线段 $EH$ 向点 $H$ 运动，至与点 $N$ 重合时停止， $ΔMOG$ 和 $ΔNOG$ 的面积分别表示为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，在点 $M$ 的运动过程中， $S_{1} \cdot S_{2}$ （即 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

在 $ΔABC$ 中， $AB = 6$ ， $AC = BC = 5$ ，将 $ΔABC$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转，得到 $ΔADE$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，点 $B$ 的对应点为点 $D$ ，点 $C$ 的对应点为点 $E$ ，连接 $BD$ ， $BE$ ．

（1）如图，当 $α = 60 °$ 时，延长 $BE$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．

①求证： $ΔABD$ 是等边三角形；

②求证： $BF ⊥ AD$ ， $AF = DF$ ；

③请直接写出 $BE$ 的长；

（2）在旋转过程中，过点 $D$ 作 $DG$ 垂直于直线 $AB$ ，垂足为点 $G$ ，连接 $CE$ ，当 $∠ DAG = ∠ ACB$ ，且线段 $DG$ 与线段 $AE$ 无公共点时，请直接写出 $BE + CE$ 的值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

如图，在平面直角坐标系中， $ΔAOB$ 的顶点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0, 1)$ ，点 $C$ 为边 $AB$ 的中点，正方形 $OBDE$ 的顶点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上，连接 $CO$ ， $CD$ ， $CE$ ．

（1）线段 $OC$ 的长为　　；

（2）求证： $ΔCBD ≅ ΔCOE$ ；

（3）将正方形 $OBDE$ 沿 $x$ 轴正方向平移得到正方形 $O_{1} B_{1} D_{1} E_{1}$ ，其中点 $O$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为点 $O_{1}$ ， $B_{1}$ ， $D_{1}$ ， $E_{1}$ ，连接 $C D_{1}$ ， $C E_{1}$ ，设点 $E_{1}$ 的坐标为 $(a, 0)$ ，其中 $a \neq 2$ ，△ $C D_{1} E_{1}$ 的面积为 $S$ ．

①当 $1 < a < 2$ 时，请直接写出 $S$ 与 $a$ 之间的函数表达式；

②在平移过程中，当 $S = \frac{1}{4}$ 时，请直接写出 $a$ 的值．

倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 $A$ ， $B$ 两种型号的健身器材若干套， $A$ ， $B$ 两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．

（1）若购买 $A$ ， $B$ 两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求 $A$ ， $B$ 两种型号健身器材各购买多少套？

（2）若购买 $A$ ， $B$ 两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求 $A$ 种型号健身器材至少要购买多少套？

如图，在 $ΔABC$ 中，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $BC$ ， $AC$ 相交于点 $D$ ， $E$ ， $BD = CD$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交边 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DF ⊥ AC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $∠ CDF = 30 °$ ，求 $\hat{BD}$ 的长（结果保留 $π)$ ．