如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个-优题课

如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．
如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，请在边AB上作出C，D两点的所有勾股点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
如图2，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4 cm，DM＝8 cm，AN＝5 cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1 cm／s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t(s) ，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．
① 当t＝4、 t＝5时，直接写出点H的个数．②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
类型	新闻	体育	动画	娱乐	戏曲
人数	11	20	40	$m$	4

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）统计表中 $m$ 的值为　　，统计图中 $n$ 的值为　　， $A$ 类对应扇形的圆心角为　　度；

（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；

（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 6$ ，点 $O$ 是对角线 $BD$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交 $AB$ 、 $CD$ 边于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证：四边形 $DEBF$ 是平行四边形；

（2）当 $DE = DF$ 时，求 $EF$ 的长．

先化简，再从 $- 1$ 、2、3、4中选一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

$(\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4} - \frac{4}{x - 2}) \div \frac{x - 4}{x^{2} - 4}$

已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$

（1）若 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = - 1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y = p x^{2} + qx + r (p \neq 0)$ ，满足方程 $y = x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b = \frac{1}{2} c^{3}$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $Oxy$ 中，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0)$ ，其中 $x_{1} < 0$ ， $x_{2} > 0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $BC$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $OC = OD$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $CE$ 相交于点 $F$ ，满足 $∠ AFC = ∠ ABC$ ． $FA$ 的延长线与 $BC$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{PC}{PA} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5 a^{2} + 1}}$ ，求二次函数的表达式．

四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的圆内接四边形，线段 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，连结 $AC$ 、 $BD$ ．点 $H$ 是线段 $BD$ 上的一点，连结 $AH$ 、 $CH$ ，且 $∠ ACH = ∠ CBD$ ， $AD = CH$ ， $BA$ 的延长线与 $CD$ 的延长线相交于点 $P$ ．

（1）求证：四边形 $ADCH$ 是平行四边形；

（2）若 $AC = BC$ ， $PB = \sqrt{5} PD$ ， $AB + CD = 2 (\sqrt{5} + 1)$

①求证： $ΔDHC$ 为等腰直角三角形；

②求 $CH$ 的长度．