本题10分)操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选-优题课

本题10分)
操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：

纸片利用率=×100%
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

若 $ΔABC$ 和 $ΔAED$ 均为等腰三角形，且 $∠ BAC = ∠ EAD = 90 °$ ．

（1）如图（1），点 $B$ 是 $DE$ 的中点，判定四边形 $BEAC$ 的形状，并说明理由；

（2）如图（2），若点 $G$ 是 $EC$ 的中点，连接 $GB$ 并延长至点 $F$ ，使 $CF = CD$ ．

求证：① $EB = DC$ ，

② $∠ EBG = ∠ BFC$ ．

中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以"茶和世界共品共享"为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了 $A$ 种茶叶若干盒，用8400元购进 $B$ 种茶叶若干盒，所购 $B$ 种茶叶比 $A$ 种茶叶多10盒，且 $B$ 种茶叶每盒进价是 $A$ 种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1） $A$ ， $B$ 两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 $A$ ， $B$ 两种茶叶共100盒（进价不变）， $A$ 种茶叶的售价是每盒300元， $B$ 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进 $A$ ， $B$ 两种茶叶各多少盒？

为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 $A$ ：机器人； $B$ ：航模； $C$ ：科幻绘画； $D$ ：信息学； $E$ ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次参加比赛的学生人数是　　名；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 $α$ 的度数；

（4）在 $C$ 组最优秀的3名同学 $(1$ 名男生2名女生）和 $E$ 组最优秀的3名同学 $(2$ 名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

如图，已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A (3, a)$ ，点 $B (14 - 2 a, 2)$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为点 $C$ 关于原点 $O$ 的对称点，求 $ΔACD$ 的面积．

（1）化简： $(a - 1 + \frac{1}{a - 3}) \div \frac{a^{2} - 4}{a - 3}$ ；

（2）解不等式： $\frac{x + 1}{3} - 1 < \frac{x - 1}{4}$ ．