已知函数的图象经过
其中
为自然对数的底数,
.
(Ⅰ)求实数;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)证明:对于任意的,都有
成立.
选修4-1:几何证明选讲
如图,是
的一条切线,切点为
,直线
,
,
都是
的割线,已知
.
(1)求证:;
(2)若,
.求
的值.
已知函数.
(1)若曲线在
处的切线为
,求
的值;
(2)设,
,证明:当
时,
的图象始终在
的图象的下方;
(3)当时,设
,(
为自然对数的底数),
表示
导函数,求证:对于曲线
上的不同两点
,
,
,存在唯一的
,使直线
的斜率等于
.
如图,在平面直角坐标系中,离心率为
的椭圆
的左顶点为
,过原点
的直线(与坐标轴不重合)与椭圆
交于
两点,直线
分别与
轴交于
两点.若直线
斜率为
时,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试问以为直径的圆是否经过定点(与直线
的斜率无关)?请证明你的结论.
如图,在三棱锥中,
底面
,
,
,
分别是
的中点,
在
上,且
.
(1)求证:平面
;
(2)在线段上上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表:
态度 调查人群 |
应该取消 |
应该保留 |
无所谓 |
在校学生 |
2100人 |
120人 |
![]() |
社会人士 |
600人 |
![]() |
![]() |
(1)已知在全体样本中随机抽取人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为
,现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取
人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数
的分布列和数学期望.