已知函数，①求函数的单调区间。②若函数的图象在点（2，）处的-优题课

已知函数，
①求函数的单调区间。
②若函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为，对任意的,函数在区间上总不是单调函数，求m取值范围
③求证：

科目数学题型解答题难度中等

知识点：微积分的产生──划时代的成就

如图，已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ ，过点 $M (0, 2)$ 任作一直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线与直线 $A O$ 相交于点 $D$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)证明：动点 $D$ 在定直线上；
(2)作 $C$ 的任意一条切线 $l$ （不含 $x$ 轴）与直线 $y = 2$ 相交于点 $N_{1}$ ，与（1）中的定直线相交于点 $N_{2}$ ，证明： ${|M N_{2}|}^{2} - {|M N_{1}|}^{2}$ 为定值，并求此定值.

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥ B C, A_{1} B ⊥ B B_{1}$ ，

（1）求证： $A_{1} C ⊥ C C_{1}$ ；
（2）若 $A B = 2, A C = \sqrt{3}, B C = \sqrt{7}$ ，问 $A A_{1}$ 为何值时，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积最大，并求此最大值．

已知函数 $f (x) = (4 x^{2} + 4 a x + a^{2}) \sqrt{x}$ ，其中 $a < 0$ .
（1）当 $a = - 4$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间;
（2）若 $f (x)$ 在区间 $[1, 4]$ 上的最小值为8，求 $a$ 的值.

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2}, n \in N^{*}$

(1)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)证明：对任意 $n > 1$ ，都有 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列.

已知函数 $f (x) = (a + 2 \cos^{2} x) \cos (2 x + θ)$ 为奇函数,且 $f (\frac{π}{4}) = 0$ ,其中 $a \in R, θ \in (0, π)$

（1）求 $a, θ$ 的值；
（2）若 $f (\frac{α}{4}) = - \frac{2}{5}, α \in (\frac{π}{2}, π)$ ,求 $\sin (α + \frac{π}{3})$ 的值.

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