一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余-优题课

题文

一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球。请用画树状图的方法列出所有可能的结果，并写出两次摸出的球颜色相同的概率。

科目数学题型解答题难度较易

知识点：利用频率估计概率

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设 $x = \frac{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}} ， y = \frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}} ， t$ 为何值时，代数式 $20 x^{2} + 41 xy + 20 y^{2}$ 的值为 $2001$ .

（1）化简: $\frac{\sqrt{6} + 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{(\sqrt{6} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}$ ;

（2）设 $a = \frac{16}{\sqrt{17} + 1}$ ，求 $a^{5} + 2 a^{4} - 17 a^{3} - a^{2} + 18 a - 17$ 的值.

正数 $m ， n$ 满足 $m + 4 \sqrt{mn} - 2 \sqrt{m} - 4 \sqrt{n} + 4 n = 3$ ，求 $\frac{\sqrt{m} + 2 \sqrt{n} - 8}{\sqrt{m} + 2 \sqrt{n} + 2022}$ 的值.

计算与求值.

（1）已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a - 1} - \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}}{a^{2} - a}$ 的值.

（2）计算: $\frac{(2^{4} + \frac{1}{4}) (4^{4} + \frac{1}{4}) (6^{4} + \frac{1}{4}) (8^{4} + \frac{1}{4}) (10^{4} + \frac{1}{4})}{(1^{4} + \frac{1}{4}) (3^{4} + \frac{1}{4}) (5^{4} + \frac{1}{4}) (7^{4} + \frac{1}{4}) (9^{4} + \frac{1}{4})}$ .

先阅读再化简求值.

（1）在化简 $\sqrt{7 - 2 \sqrt{10}}$ 的过程中，小王和小李的化简结果不一样.

小王的化简过程如下：

原式 $= \sqrt{2 - 2 \sqrt{2 \times 5} + 5} = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{5}$ .

小李的化简过程如下：

原式 $= \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ .

请判断谁的化简结果正确，并说明理由.

（2）化简求值：已知 $x = \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$ ，求 $(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 (x - 1)}$ 的值（结果保留根号）.

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