宽与长的比是
的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小明同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形
；
第二步：分别取
，
的中点
，
，连接
；
第三步：以为圆心，
长为半径画弧，交的延长线于
；
第四步：过作
⊥，交的延长线于
。
请你根据以上作法，证明矩形
为黄金矩形。
已知：如图1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s;点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2).解答下列问题：
①.当t为何值时，PQ∥BC?
②.设⊿AQP的面积为y(cm
),求y与t之间的函数关系式；③.是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt⊿ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
④.如图2，连接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四边形PQ
C,那么是否存在某时刻t，使四边形PQC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由。
在⊿ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线EF交BC的延长线于E,交AD于F.
①.求证:∠B=∠EAC;
②. .若设CE=
,DE=b,BE=c,你能根据这些条件判断关于
的一元二次方程
的根的情况吗?说明理由.
已知
的一个根为2，另一个正数根恰好是方程
的根，求
的值。
如图1，在⊿ABC中，AB=BC,P为AB边上一点，连接CP，以PA,PC为邻边作平行四边形APCD,AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=
①.求证：∠EAP=∠EPA;
②.平行四边形APCD是否为矩形？请说明理由；
③.如图2，F为BC中点，连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN(点M,N分别是∠MEN的两边与BA,FP延长线的交点)，猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论。
如图，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
(1)求直线BC的解析式．
(2)设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心、r为半径作⊙P．
①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；
②若r＝，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．