计算：.-优题课

如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点 $A$ ．甲从中山路上点 $B$ 出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点 $A$ 出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发 $xmin$ 时，甲、乙两人与点 $A$ 的距离分别为 $y_{1} m$ 、 $y_{2} m$ ．已知 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系如图②所示．

（1）求甲、乙两人的速度；

（2）当 $x$ 取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？

如图，有一块矩形硬纸板，长 $30 cm$ ，宽 $20 cm$ ．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 $200 c m^{2}$ ？

（1）解方程： $\frac{x - 2}{x - 3} + 1 = \frac{2}{3 - x}$

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x > 2 x - 2 \\ 2 x + 1 ⩾ 5 x - 5 \end{matrix}$

计算：

（1） $π^{0} - \sqrt{9} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - | - 5 |$ ；

（2） $\frac{x^{2} - 16}{x + 4} \div \frac{2 x - 8}{4 x}$ ．

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $BC = 3$ ，动点 $P$ 从 $B$ 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线 $BC$ 方向移动，作 $ΔPAB$ 关于直线 $PA$ 的对称 $ΔPAB'$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s)$ ．

（1）若 $AB = 2 \sqrt{3}$ ．

①如图2，当点 $B'$ 落在 $AC$ 上时，显然 $ΔPAB'$ 是直角三角形，求此时 $t$ 的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得 $ΔPCB'$ 是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $t$ 的值？若不存在，请说明理由．

（2）当 $P$ 点不与 $C$ 点重合时，若直线 $PB'$ 与直线 $CD$ 相交于点 $M$ ，且当 $t < 3$ 时存在某一时刻有结论 $∠ PAM = 45 °$ 成立，试探究：对于 $t > 3$ 的任意时刻，结论“ $∠ PAM = 45 °$ ”是否总是成立？请说明理由．